Cho hypebol $(H):\,\dfrac{{{x^2}}}{4} - \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1$. Tìm phương trình đường chéo của hình chữ nhật tâm $O$ có $4$ đỉnh thuộc $(H)$ sao cho hệ số góc các đường chéo là số nguyên.

Gọi$A\left( {{x_0};\,{y_0}} \right),\,\,B\left( { - {x_0};\,{y_0}} \right),\,C\left( { - {x_0};\, - {y_0}} \right);\,D\left( {{x_0};\, - {y_0}} \right),\,\,({x_0},{y_0} > 0)$ là $4$ đỉnh của hình chữ nhật $ABCD,$ có tâm $O.$

$A,B,C,D \in (H) \Rightarrow \dfrac{{{x_0}^2}}{4} - \dfrac{{{y_0}^2}}{{16}} = 1$  (1)

Phương trình đường thẳng \(AC:\,\,y = \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}}x\) và phương trình đường thẳng \(BD:\,\,y =  - \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}}.x\)

Hệ số góc của đường chéo $AC, BD$ lần lượt là: $\dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}}$ và  $ - \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}}$.

Hệ số góc các đường chéo là số nguyên $ \Leftrightarrow \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}} \in Z,\, - \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}} \in Z \Leftrightarrow \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}} \in Z.$

Đặt $\dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}} = k \in {Z^ + } \Leftrightarrow {y_0} = k{x_0}$. Thay vào (1), ta được:

$\dfrac{{{x_0}^2}}{4} - \dfrac{{{k^2}{x_0}^2}}{{16}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{{k^2}{x_0}^2}}{{16}} = \dfrac{{{x_0}^2}}{4} - 1 \Leftrightarrow {k^2}{x_0}^2 = 4{x_0}^2 - 16 \Leftrightarrow {k^2} = 4 - \dfrac{{16}}{{{x_0}^2}}$ (2)

Từ (2) $ \Rightarrow 0 < {k^2} < 4$

Mà  $k \in Z \Rightarrow {k^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 1\,\,(TM)\\k =  - 1(L)\end{array} \right.$

$k = 1 \Rightarrow AC:\,\,y = x,\,\,\,BD:\,\,y =  - x$

Vậy, phương trình đường chéo cần tìm là: $y = x,\,\,\,y =  - x$