Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) vuông tại \(A\) và \(SB\) vuông góc với đáy. Biết \(SB = a,SC\) hợp với \(\left( {SAB} \right)\) một góc \({30^0}\) và \(\left( {SAC} \right)\) hợp với đáy \(\left( {ABC} \right)\) một góc \({60^0}\). Thể tích khối chóp là:

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}AC \bot AB\\AC \bot SB\,\,\left( {SB \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AC \bot SA\)  

\( \Rightarrow SA\) là hình chiếu vuông góc của $SC$ trên $\left( {SAB} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;SA} \right)} = \widehat {CSA} = {30^0}$

\(\left. \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AC\\\left( {SAC} \right) \supset SA \bot AC\\\left( {ABC} \right) \supset AB \bot AC\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA;AB} \right)} = \widehat {SAB} = {60^0}\)

\(SB \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SB \bot AB \Rightarrow \Delta SAB\) vuông tại $B$

\( \Rightarrow AB = SB.\cot {60^0} = a.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\( \Rightarrow SA = \sqrt {S{B^2} + A{B^2}}  = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{3}}  = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\)

Xét tam giác vuông $SAC$ ta có: \(AC = SA.\tan {30^0} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2a}}{3}\)

 \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{2a}}{3} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{9}\)

 \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SB.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{9} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\)