Cho hình chóp đều $n$ cạnh $(n \ge 3)$. Cho biết bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là $R$ và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng ${60^0}$ , thể tích khối chóp bằng $\dfrac{{3\sqrt 3 }}{4}{R^3}$  . Tìm $n$?

Giả sử đáy là đa giác đều ${A_1}{A_2}...{A_n}$. $O$ là tâm đáy, chóp có chiều cao là $SH$ . Gọi $I$ là trung điểm của ${A_1}{A_2}$

Ta có : $I{A_1} = R.\sin \dfrac{\pi }{n};OI = R.\cos \dfrac{\pi }{n}$

$SO = OI.\tan {60^0} = R.\cos \dfrac{\pi }{n}.\sqrt 3  = R\sqrt 3 .\cos \dfrac{\pi }{n}$

Diện tích đáy : $S = \dfrac{{3V}}{{SO}} = \dfrac{{3.\dfrac{{3\sqrt 3 }}{4}.{R^3}}}{{R\sqrt 3 .cos\dfrac{\pi }{n}}} = \dfrac{{9{R^2}}}{{4\cos \dfrac{\pi }{n}}}$

Mà $S = n.\dfrac{1}{2}{R^2}.\sin \dfrac{{2\pi }}{n} \Rightarrow \dfrac{{9{R^2}}}{{4\cos \dfrac{\pi }{n}}} = n.\dfrac{1}{2}.{R^2}.\sin \dfrac{{2\pi }}{n}$

$ \Leftrightarrow n\sin \dfrac{{2\pi }}{n}\cos \dfrac{\pi }{n} = \dfrac{9}{2}$

Thử các giá trị của $n$ ở các đáp án ta được \(n = 6\).