Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f^{\prime}(x)=x^{2}(x+1)\left(x^{2}+2 m x+5\right)\) với mọi \(x \in R\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m>-10\) để hàm số \(g(x)=f(|x|)\) có 5 điểm cực trị?
Trả lời bởi giáo viên
Do đồ thị hàm số \(g(x)=f(|x|)\) nhận \(O y\) làm trục đối xứng nên hàm số \(g(x)=f(|x|)\) có 5 điểm cực trị khi hàm số \(y=f(x)\) có 2 điểm cực trị dương.
Ta có:
\({f^\prime }(x) = {x^2}(x + 1)\left( {{x^2} + 2mx + 5} \right) = {\rm{0}}\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} = 0}\\{x + 1 = 0}\\{{x^2} + 2mx + 5 = 0}\end{array}} \right.\)
Hàm số \(y=f(x)\) có 2 điểm cực trị dương khi phương trình \(x^{2}+2 m x+5=0\) có hai nghiệm dương phân biệt.
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\Delta ^\prime } = {m^2} - 5 > 0}\\{S = - 2m > 0}\\{P = 5 > 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \in ( - \infty ; - \sqrt 5 ) \cup (\sqrt 5 ; + \infty )}\\{m < 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow m \in ( - \infty ; - \sqrt 5 )\)
Giá trị nguyên của tham số \(m>-10\) để hàm số \(g(x)=f(|x|)\) có 5 điểm cực trị là: \(m \in\{-9 ;-8 ;-7 ;-6 ;-5 ;-4 ;-3\} .\)
Số giá trị nguyên của tham số \(m>-10\) để hàm số \(g(x)=f(|x|)\) có 5 điểm cực trị là 7.
Hướng dẫn giải:
- Hàm số \(g(x)=f(|x|)\) có 5 điểm cực trị khi hàm số \(y=f(x)\) có 2 điểm cực trị dương.
- Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) và biện luận số nghiệm theo m.
- Sử dụng Vi-et để tìm điều kiện của m.