Cho hàm số $y = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}}\,\,\,\left( C \right)$. Tìm điểm $M$ thuộc $(C)$ sao cho tiếp tuyến tại $M$ và hai trục tọa độ tạo thành tam giác cân.

TXĐ: $D = R\backslash \left\{ 1 \right\}$

Ta có: $y' = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

Gọi $M\left( {{x_o};{y_o}} \right)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số $(C)$. Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $(C)$ tại điểm $M$ là: $\Delta :\,\,y = y'\left( {{x_o}} \right)\left( {x - {x_o}} \right) + {y_o} = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_o}} \right) + \dfrac{{2{x_o} - 1}}{{{x_o} - 1}}$

Gọi $A\left( {{x_A};0} \right)$ là giao điểm của $\Delta $ và trục $Ox$; $B\left( {0;{y_B}} \right)$ là giao điểm của $\Delta $ và trục $Oy$.

$ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}{x_A} = 2x_o^2 - 2{x_o} + 1 \hfill \\  {y_B} = \dfrac{{2x_o^2 - 2{x_o} + 1}}{{{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2}}} \hfill \\ \end{gathered}  \right.$

Theo đề bài ta có tiếp tuyến tại $M$ và hai trục tọa độ tạo thành tam giác cân

$ \Rightarrow $ tam giác $OAB$ cân tại $O$

$ \Leftrightarrow OA = OB \Leftrightarrow \left| {{x_A}} \right| = \left| {{y_B}} \right|$

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {2x_o^2 - 2{x_o} + 1} \right| = \left| {\dfrac{{2x_o^2 - 2{x_o} + 1}}{{{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2}}}} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {2x_o^2 - 2{x_o} + 1} \right|\left( {1 - \dfrac{1}{{{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2}}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {2x_o^2 - 2{x_o} + 1} \right| = 0\\1 - \dfrac{1}{{{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2}}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {\left( {{x_o} - 1} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_o} = 0\left( {tm} \right)\\{x_o} = 2\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Khi đó ta có hai điểm $M$ là: $M\left( {0;1} \right)$ và $M\left( {2;3} \right)$