Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_1^9 {\dfrac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x = 4} ,\)\(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x = 2} .\) Tính tích phân \(I = \int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

Xét tích phân \(\int\limits_1^9 {\dfrac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x = 4} \).

Đặt \(t = \sqrt x  \Rightarrow {t^2} = x \Rightarrow 2tdt = dx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 1\\x = 9 \Rightarrow t = 3\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(\int\limits_1^9 {\dfrac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x}  = \int\limits_1^3 {\dfrac{{f\left( t \right)2tdt}}{t}}  = 2\int\limits_1^3 {f\left( t \right)dt}  = 2\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} \).

\( \Rightarrow 2\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx}  = 4 \Leftrightarrow \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx}  = 2\).

Xét tích phân \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x = 2} \).

Đặt \(u = \sin x \Rightarrow du = \cos xdx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 0\\x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow u = 1\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {f\left( u \right)du}  = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = 2\).

Vậy \(I = \int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 2 + 2 = 4\).