Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). Biết rằng \(2xf'\left( x \right) = f\left( x \right) + {x^2},\) \(\,\forall x \in \,\left( {0; + \infty } \right)\) và \(f\left( 1 \right) = 2\). Tính \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} \).

Bước 1:

Theo bài ra ta có:

\(2xf'\left( x \right) = f\left( x \right) + {x^2}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {2x} f'\left( x \right) - \dfrac{1}{{\sqrt {2x} }}f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {2x} }}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)\sqrt {2x} {\rm{\;}} - \dfrac{1}{{\sqrt {2x} }}f\left( x \right)}}{{2x}} = \dfrac{{{x^2}}}{{2x\sqrt {2x} }}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)\sqrt {2x} {\rm{\;}} - f\left( x \right){{\left( {\sqrt {2x} } \right)}^\prime }}}{{2x}} = \dfrac{x}{{2\sqrt {2x} }}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{\sqrt {2x} }}} \right)^\prime } = \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\sqrt x \)

Bước 2:

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

\(\begin{array}{l}\int {\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{\sqrt {2x} }}} \right)'dx}  = \int {\dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\sqrt x dx} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( x \right)}}{{\sqrt {2x} }} = \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}.\dfrac{2}{3}x\sqrt x  + C\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{{3\sqrt 2 }}\sqrt {2x} .x\sqrt x  + C\sqrt {2x} \\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^2} + C\sqrt {2x} \end{array}\)

Bước 3:

Ta lại có \(f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{3} + C\sqrt 2  = 2 \Leftrightarrow C = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{6}\) \( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^2} + \dfrac{{5\sqrt 2 }}{6}\sqrt {2x}  = \dfrac{1}{3}{x^2} + \dfrac{5}{3}\sqrt x \)

Bước 4:

Vậy \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_1^4 {\left( {\dfrac{1}{3}{x^2} + \dfrac{5}{3}\sqrt x } \right)dx}  \)\(= \dfrac{{133}}{9}\).