Cho hàm số $f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e,$ với $a,b,c,d,e \in \mathbb{R}.$ Hàm số $y = f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Ta có $f'\left( x \right) = 4a{x^3} + 3b{x^2} + 2cx + d$

Từ đồ thị hàm số ta thấy $f'\left( 0 \right) \Leftrightarrow d = 0$

Từ đồ thị ta thấy:

+ Khi $x< -1$ thì $f'(x)>0$.

+ Khi $-1<x<0=>f'(x)<0$

+ Khi $0<x<x_0$ (với $x_0$ là nghiệm thứ 3 của phương trình $f'(x)=0$) $=>f'(x)>0$

+ Khi $x>x_0$ thì $f'(x)<0$

Ta có bảng biến thiên:

$\Rightarrow f\left( { - 1} \right) > f\left( 0 \right)$

$\Leftrightarrow a - b + c - d + e > e \Leftrightarrow a + c > b + d$ nên B sai, lại có $d = 0 \Rightarrow a + c > b$  (1)

+) Từ bảng biến thiên $\Rightarrow f\left( 1 \right) > f\left( 0 \right)$

$\Leftrightarrow a + b + c + d + e > e \Leftrightarrow a + b + c + d > 0$ nên A sai.

Mà $d = 0$ nên $a + b + c > 0 \Leftrightarrow a + c >  - b$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $2\left( {a + c} \right) > 0 \Leftrightarrow a + c > 0.$