Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e,\) với \(a,b,c,d,e \in \mathbb{R}.\) Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Ta có \(f'\left( x \right) = 4a{x^3} + 3b{x^2} + 2cx + d\)

Từ đồ thị hàm số ta thấy \(f'\left( 0 \right) \Leftrightarrow d = 0\)

Từ đồ thị ta thấy:

+ Khi $x< -1$ thì $f'(x)>0$.

+ Khi $-1<x<0=>f'(x)<0$

+ Khi $0<x<x_0$ (với $x_0$ là nghiệm thứ 3 của phương trình $f'(x)=0$) $=>f'(x)>0$

+ Khi $x>x_0$ thì $f'(x)<0$

Ta có bảng biến thiên:

\(\Rightarrow f\left( { - 1} \right) > f\left( 0 \right)\)

\( \Leftrightarrow a - b + c - d + e > e \Leftrightarrow a + c > b + d\) nên B sai, lại có \(d = 0 \Rightarrow a + c > b\)  (1)

+) Từ bảng biến thiên \( \Rightarrow f\left( 1 \right) > f\left( 0 \right)\)

\( \Leftrightarrow a + b + c + d + e > e \Leftrightarrow a + b + c + d > 0\) nên A sai.

Mà \(d = 0\) nên \(a + b + c > 0 \Leftrightarrow a + c >  - b\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(2\left( {a + c} \right) > 0 \Leftrightarrow a + c > 0.\)