Cho hai số thực $x,\,y$ thỏa mãn ${x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4 + \sqrt {{y^2} + 6y + 10}  = \sqrt {6 + 4x - {x^2}}$. Gọi $M,\,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \left| {\sqrt {{x^2} + {y^2}}  - a} \right|$. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn $\left[ { - 10;\,10} \right]$ của tham số $a$ để $M \ge 2m$?

Ta có ${x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4 + \sqrt {{y^2} + 6y + 10}  = \sqrt {6 + 4x - {x^2}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4 + \sqrt {{y^2} + 6y + 10}  - \sqrt {6 + 4x - {x^2}}  = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4 + \dfrac{{\left( {\sqrt {{y^2} + 6y + 10}  - \sqrt {6 + 4x - {x^2}} } \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 6y + 10}  + \sqrt {6 + 4x - {x^2}} } \right)}}{{\sqrt {{y^2} + 6y + 10}  + \sqrt {6 + 4x - {x^2}} }} = 0\end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4 + \dfrac{{{y^2} + 6y + 10 - 6 - 4x + {x^2}}}{{\sqrt {{y^2} + 6y + 10}  + \sqrt {6 + 4x - {x^2}} }} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4 + \dfrac{{{x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4}}{{\sqrt {{y^2} + 6y + 10}  + \sqrt {6 + 4x - {x^2}} }} = 0\end{array}$

$\Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{\sqrt {{y^2} + 6y + 10}  + \sqrt {6 + 4x - {x^2}} }}} \right) = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 4 = 0$  (vì $1 + \dfrac{1}{{\sqrt {{y^2} + 6y + 10}  + \sqrt {6 + 4x - {x^2}} }} > 0$ )

$\Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9$

Phương trình ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9$ là phương trình đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( {2; - 3} \right)$ và bán kính $R = 3.$

Gọi $N\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)$ ta suy ra $ON = \sqrt {{x^2} + {y^2}}$ suy ra $T = \left| {ON - a} \right|$

Gọi $A,B$ là giao điểm của đường tròn $\left( C \right)$ và đường thẳng $OI$.

Khi đó $OA = OI - R = \sqrt {13}  - 3$  và $OB = OI + R = \sqrt {13}  + 3$

Suy ra $\sqrt {13}  - 3 \le \sqrt {{x^2} + {y^2}}  \le \sqrt {13}  + 3$

 TH1: Nếu $\sqrt {13}  - 3 \le a \le \sqrt {13}  + 3$ thì $\left| {\sqrt {{x^2} + {y^2}}  - a} \right| \ge 0 \Rightarrow \min T = 0 \Rightarrow M \ge 2m \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}$

TH2: Nếu $a < \sqrt {13}  - 3 \Rightarrow a < \sqrt {13}$ nên $\left| {\sqrt {13}  + 3 - a} \right| > \left| {\sqrt {13}  - 3 - a} \right|$, do đó $M = \left| {\sqrt {13}  + 3 - a} \right|;m = \left| {\sqrt {13}  - 3 - a} \right|$

Vì $M \ge 2m \Rightarrow \left| {\sqrt {13}  + 3 - a} \right| \ge 2\left| {\sqrt {13}  - 3 - a} \right|$

$\Leftrightarrow {\left( {\sqrt {13}  + 3 - a} \right)^2} - {\left( {2\sqrt {13}  - 6 - 2a} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {13}  - 9 \le a \le \sqrt {13}  - 1 \Rightarrow a \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0} \right\}$

TH3: Nếu $a > \sqrt {13}  + 3 \Rightarrow a > \sqrt {13}$ nên $\left| {\sqrt {13}  + 3 - a} \right| < \left| {\sqrt {13}  - 3 - a} \right|$, do đó $m = \left| {\sqrt {13}  + 3 - a} \right|;M = \left| {\sqrt {13}  - 3 - a} \right|$

Vì $M \ge 2m \Rightarrow \left| {\sqrt {13}  - 3 - a} \right| \ge 2\left| {\sqrt {13}  + 3 - a} \right|$

$\Leftrightarrow {\left( {\sqrt {13}  - 3 - a} \right)^2} - {\left( {2\sqrt {13}  + 6 - 2a} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {13}  + 1 \le a \le \sqrt {13}  + 9 \Rightarrow a \in \left\{ {7;8;9;10} \right\}$

Vậy có 16 giá trị của $a$ thỏa mãn đề bài.