Cho hai mặt phẳng \((P),(Q)\) song song với nhau cùng cắt khối cầu tâm \(I\), bán kính \(R\) tạo thành hai hình tròn cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai hình tròn, đáy trùng với hình tròn còn lại. Tính khoảng cách giữa \((P),(Q)\) để diện tích xung quanh của hình nón là lớn nhất.

Cắt khối cầu tâm I, bán kính R bằng mặt phẳng (R) đi qua tâm I và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q) ta được hình vẽ sau:

Trong đó \(AB = \left( R \right) \cap \left( P \right),CD = \left( R \right) \cap \left( Q \right)\) với \(AB = CD;\) \(h = SH = AC = BD,R = IB\)

Đường sinh \(l = SC = SD\)

Bán kính của mỗi hình tròn giao tuyến là \(r = \dfrac{{AB}}{2}\)

Ta có: \({l^2} = S{C^2} = A{C^2} + A{S^2} = {h^2} + {r^2}\)

\( \Rightarrow {l^2} = {R^2} + \dfrac{{{h^2}}}{4}\)

Mà diện tích xung quanh của khối nón được xét: \({S_{xq}} = \pi rl\)

Ta có \({S_{xq}}\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(rl\) đạt giá trị lớn nhất.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số \(r\sqrt 3 \) và \(l\) ta có

\(rl = \dfrac{1}{{2\sqrt 3 }}.2.\left( {r\sqrt 3 } \right)l \le \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}\left( {3{r^2} + {l^2}} \right)\) \( = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}4{R^2} = \dfrac{{2{R^2}\sqrt 3 }}{3}\)

=> \(rl\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(3{r^2} = {l^2} \Leftrightarrow {h^2} = \dfrac{4}{3}{R^2} \Rightarrow h = \dfrac{{2R\sqrt 3 }}{3}\)