Trong không gian hệ tọa độ $O x y z$, cho \(A(1;2; - 1);B( - 1;0;1)\) và mặt phẳng \((P):x + 2y - z + 1 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng \((Q)\) qua $A, B$ và vuông góc với \((P)\).
Trả lời bởi giáo viên
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} - 2;{\mkern 1mu} 2} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;{\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} - 1} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {{n_P}} } \right]\)\( = \left( { - 2;0; - 2} \right)\)
Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua \(A\left( {1;{\mkern 1mu} 2; - 1} \right)\) và có VTPT \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;0;1} \right)\) là:
\(1\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y - 2} \right) + 1\left( {z + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + z = 0\)
Hướng dẫn giải:
+) Mặt phẳng (Q) chứa A và B tức là đi qua A, B và VTPT \(\overrightarrow{{{n}_{Q}}}\bot \overrightarrow{AB}\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\)
+) \(\left( Q \right)\bot \left( P \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{Q}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{P}}}\,\,\,\,\left( 2 \right).\)
+) Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\,\,\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right].\)
+) Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua \(A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)\) và có VTPT \(\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( a;b;c \right)\) là:
\(a\left( x-{{x}_{0}} \right)+b\left( y-{{y}_{0}} \right)+c\left( z-{{z}_{0}} \right)=0.\)
