Cho hai khối cầu \(\left( {{S_1}} \right),\,\,\left( {{S_2}} \right)\) có cùng bán kính 2 thỏa mãn tính chất: tâm của \(\left( {{S_1}} \right)\) thuộc \(\left( {{S_2}} \right)\) và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi \(\left( {{S_1}} \right)\) và \(\left( {{S_2}} \right)\).

Gọi \({O_1},\,\,{O_2}\) lần lượt là tâm mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\,\,\left( {{S_2}} \right)\). Hai mặt cầu này cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (C) có tâm I.

Gọi A, B là một đường kính của đường tròn giao tuyến như hình vẽ, ta có AB là trung trực của \({O_1}{O_2}\), do đó I là trung điểm của \({O_1}{O_2}\) \( \Rightarrow I{O_1} = I{O_2} = \dfrac{1}{2}{O_1}{O_2} = \dfrac{R}{2} = 1\).

Thể tích phần chung chính là tổng thể tích của hai khối chỏm cầu bằng nhau có bán kính R = 2, chiều cao \(h = \dfrac{R}{2} = 1\).

Vậy \(V = 2.\pi {h^2}\left( {R - \dfrac{h}{3}} \right) = 2\pi {.1^2}\left( {2 - \dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{10\pi }}{3}\).