Câu hỏi:
2 năm trước
Cho \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( 2 \right) = 1\), \(\int\limits_0^1 {f\left( {2x} \right)dx = 2} \). Tích phân \(\int\limits_0^2 {xf'\left( x \right)dx} \) bằng
Đáp án
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án:
Đáp án
Bước 1: Sử dụng tích phân từng phần.
Ta có \(A = \int_0^2 {xf'\left( x \right)dx} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = u\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}dx = du\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\).
Khi đó \(A = \left. {x.f\left( x \right)} \right|_0^2 - \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \)\( = 2f\left( 2 \right) - \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \).
Bước 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số.
Xét \(B = \int\limits_0^1 {f\left( {2x} \right)dx} \).
Đặt \(t = 2x \Rightarrow dt = 2dx\).
Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\)
Khi đó ta có \(B = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \)\( = 2 \)\(\Rightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 4\)
Vậy \(A = 2.1 - 4 = - 2\).
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Sử dụng tích phân từng phần.
Bước 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số.
