Câu hỏi:
2 năm trước
Cho \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( x \right) = f\left( {2020 - x} \right)\) và \(\int\limits_3^{2017} {f\left( x \right)dx} = 4\). Khi đó \(\int\limits_3^{2017} {xf\left( x \right)dx} \) bằng:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Xét tích phân \(\int\limits_3^{2017} {xf\left( x \right)dx} \).
Đặt \(x = 2020 - t \Rightarrow dx = - dt\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 \Rightarrow t = 2017\\x = 2017 \Rightarrow t = 3\end{array} \right.\) , khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}\int\limits_3^{2017} {xf\left( x \right)dx} = - \int\limits_{2017}^3 {\left( {2020 - t} \right)f\left( {2020 - t} \right)dt} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int\limits_3^{2017} {\left( {2020 - x} \right)f\left( {2020 - x} \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int\limits_3^{2017} {\left( {2020 - x} \right)f\left( x \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2020\int\limits_3^{2017} {f\left( x \right)dx} - \int\limits_3^{2017} {xf\left( x \right)dx} \\ \Leftrightarrow 2\int\limits_3^{2017} {xf\left( x \right)dx} = 2020\int\limits_3^{2017} {f\left( x \right)dx} \\ \Leftrightarrow \int\limits_3^{2017} {xf\left( x \right)dx} = 1010.4\\ \Leftrightarrow \int\limits_3^{2017} {xf\left( x \right)dx} = 4040\end{array}\)
Hướng dẫn giải:
- Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \(x = 2020 - t\).
- Sử dụng tính chất tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \), \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {f\left( t \right)dt} \).
