Câu hỏi:
2 năm trước
Cho dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) xác định bởi \({a_1} = 1\) và \({a_{n + 1}} = - \dfrac{3}{2}a_n^2 + \dfrac{5}{2}{a_n} + 1,\,\,\forall n \in N^*.\) Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Sáu số hạng đầu tiên của dãy số đó là
\(\begin{array}{l}{a_1} = 1\\{a_2} = - \dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{2} + 1 = 2\\{a_3} = - \dfrac{3}{2}.4 + \dfrac{5}{2}.2 + 1 = 0\\{a_4} = - \dfrac{3}{2}.0 + \dfrac{5}{2}.0 + 1 = 1\\{a_5} = - \dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{2} + 1 = 2\\{a_6} = - \dfrac{3}{2}.4 + \dfrac{5}{2}.2 + 1 = 0\end{array}\)
Ta thấy cứ sau $3$ số hạng, dãy số trên sẽ bị lặp lại, do đó ta dự đoán \({a_{n + 3}} = {a_n}\,\,\forall n \ge 1\)
Chứng minh khẳng định trên bằng phương pháp quy nạp toán học :
Đẳng thức đúng với \(n = 1,{a_1} = {a_4} = 1\).
Giả sử đẳng thức đúng với $n = k$, tức là \({a_{k + 3}} = {a_k}\) , ta cần chứng minh đẳng thức đúng với $n = k + 1$, tức là cần chứng minh \({a_{k + 4}} = {a_{k + 1}}\)
Ta có :
\(\begin{array}{l}{a_{k + 4}} = - \dfrac{3}{2}a_{k + 3}^2 + \dfrac{5}{2}{a_{k + 3}} + 1\\{a_{k + 1}} = - \dfrac{3}{2}a_k^2 + \dfrac{5}{2}{a_k} + 1\end{array}\)
Mà \({a_{k + 3}} = {a_k} \Rightarrow {a_{k + 4}} = {a_{k + 1}}\), vậy \({a_{n + 3}} = {a_n}\,\,\forall n \ge 1\).
Tổng quát ${a_{3n + m}} = {a_m},\forall m,n \in {N^*}$
Ta lại có $2018 = 3.672 + 2$.
Từ đó ta suy ra ${a_{2018}} = {a_{3.672+2}}={a_{2}}$
Hướng dẫn giải:
Đây là dãy số có tính chất tuần hoàn, xác định tính chất tuần hoàn đó và suy ra đáp án.
Câu hỏi khác
- Đề thi kiểm tra 15 phút chương 3: Dãy số - Đề số 1 Toán 11 có lời giải chi tiết
- Đề kiểm tra 1 tiết chương 3: Dãy số - đề số 3 Toán 11 có lời giải chi tiết
- Đề kiểm tra 1 tiết chương 3: Dãy số - đề số 2 Toán 11 có lời giải chi tiết
- Đề kiểm tra 15 phút chương 3: Dãy số - đề số 2 Toán 11 có lời giải chi tiết
- Đề kiểm tra 15 phút chương 3: Dãy số - đề số 3 Toán 11 có lời giải chi tiết
