Câu hỏi:
2 năm trước
Cho các số phức z và w thỏa mãn \(\left( {3 - i} \right)\left| z \right| = \dfrac{z}{{w - 1}} + 1 - i\). Tìm GTLN của \(T = \left| {w + i} \right|\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Dễ dàng kiểm tra \(z = 0\) không thỏa mãn \(\left( {3 - i} \right)\left| z \right| = \dfrac{z}{{w - 1}} + 1 - i\)
Ta có: \(\left( {3 - i} \right)\left| z \right| = \dfrac{z}{{w - 1}} + 1 - i \) \(\Leftrightarrow \dfrac{z}{{w - 1}} = \left( {3 - i} \right)\left| z \right| + i - 1 \) \(\Leftrightarrow \dfrac{z}{{w - 1}} = \left( {3\left| z \right| - 1} \right) + \left( {1 - \left| z \right|} \right)i\)
\( \Rightarrow \left| {\dfrac{z}{{w - 1}}} \right| = \sqrt {10{{\left| z \right|}^2} - 8\left| z \right| + 2} \)\( \Rightarrow \left| {w - 1} \right| = \sqrt {\dfrac{{{{\left| z \right|}^2}}}{{10{{\left| z \right|}^2} - 8\left| z \right| + 2}}} \)
Nhận xét: \(T = \left| {w + i} \right| \le \left| {w - 1} \right| + \left| {1 + i} \right| \)\(= \dfrac{1}{{\sqrt {\dfrac{2}{{{{\left| z \right|}^2}}} - \dfrac{8}{{\left| z \right|}} + 10} }} + \sqrt 2 \)\(= \dfrac{1}{{\sqrt {2{{\left( {\dfrac{1}{{\left| z \right|}} - 2} \right)}^2} + 2} }} + \sqrt 2 \le \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khỉ
\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| z \right| = \dfrac{1}{2}}\\{w - 1 = k\left( {1 + i} \right)}\\{\left( {3 - i} \right)\left| z \right| = \dfrac{z}{{w - 1}} + 1 - i}\end{array}} \right.,\left( {k > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| z \right| = \dfrac{1}{2}\\w - 1 = k\left( {1 + i} \right)\\\left( {3 - i} \right)\dfrac{1}{2} = \dfrac{z}{{k\left( {1 + i} \right)}} + 1 - i\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| z \right| = \dfrac{1}{2}}\\\begin{array}{l}w - 1 = k\left( {1 + i} \right)\\z = \dfrac{{1 + i}}{2}.\dfrac{{2k}}{{1 - i}}\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| z \right| = \dfrac{1}{2}}\\\begin{array}{l}w - 1 = k\left( {1 + i} \right)\\\left| z \right| = k(dok > 0)\end{array}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| z \right| = \dfrac{1}{2} = k\\w - 1 = \dfrac{1}{2}\left( {1 + i} \right)\\z = \dfrac{{1 + i}}{2}.\dfrac{{2k}}{{1 - i}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = \dfrac{i}{2}\\w = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}i\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy, \(\max T = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Sử dụng BĐT \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\).
