Cho các phát biểu sau:

1. Hàm số $y = f\left( x \right)$ đạt cực đại tại ${x_0}$ khi và chỉ khi đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua ${x_0}$.

2. Hàm số $y = f\left( x \right)$ đạt cực trị tại ${x_0}$ khi và chỉ khi ${x_0}$ là nghiệm của đạo hàm.

3. Nếu $f'\left( {{x_0}} \right) = 0$ và $f''\left( {{x_0}} \right) = 0$ thì ${x_0}$ không phải là cực trị của hàm số $y = f\left( x \right)$ đã cho.

4. Nếu $f'\left( {{x_0}} \right) = 0$ và $f''\left( {{x_o}} \right) > 0$ thì hàm số đạt cực đại tại ${x_0}$.

Các phát biểu đúng là:

+) Ta có định lí: Nếu $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ dương sang âm khi $x$ qua điểm ${x_o}$ (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại điểm ${x_o}$ $ \Rightarrow $ 1 đúng.

+) Điều kiện cần để ${x_o}$ là điểm cực trị của hàm số là: ${x_o}$ là nghiệm của phương trình $f'\left( x \right) = 0$$ \Rightarrow $ 2 sai.

+) Nếu $f'\left( {{x_o}} \right) = 0$ và $f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm ${x_o}$ thì:

-) Nếu $f''\left( {{x_o}} \right) < 0$ thì hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực đại tại điểm ${x_o}$.

-) Nếu $f''\left( {{x_o}} \right) > 0$ thì hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại điểm ${x_o}$.

+) Nếu $f'\left( {{x_o}} \right) = 0$ và $f''\left( {{x_o}} \right) = 0$ thì ta không kết luận gì chứ không phải hàm số không đạt cực trị tại ${x_0}$.

Khi \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) = 0\end{array} \right.\) thì ta không kết luận gì vì có thể xảy ra cả hai trường hợp là hàm số đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại \({x_0}\).

Ví dụ:

+) TH1: Xét hàm \(f\left( x \right) = {x^4}\) có \(f'\left( x \right) = 4{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

\(f''\left( x \right) = 12{x^2}\) và \(f''\left( 0 \right) = 0\).

Trong TH này hàm số có \(f''\left( 0 \right) = 0\) nhưng vẫn đạt cực tiểu tại \(x = 0\) vì đạo hàm \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ âm sang dương qua \(x = 0\).

+) TH2: Xét hàm \(g\left( x \right) = {x^3}\) có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

\(f''\left( x \right) = 6x \Rightarrow f''\left( 0 \right) = 0\)

Trong TH này hàm số có \(f''\left( 0 \right) = 0\) nhưng không đạt cực trị tại \(x = 0\) vì đạo hàm \(f'\left( x \right) = 3{x^2}\) không đổi dấu của \(x = 0\).

$ \Rightarrow $ 3 và 4 sai.