Cho biết \({x^3} = 2p + 1\) trong đó \(x\) là số tự nhiên, \(p\) là số nguyên tố. Tìm \(x.\)
Trả lời bởi giáo viên
Vì \(p\) là số nguyên tố nên \(2p + 1\) là số lẻ. Mà \({x^3} = 2p + 1\) nên \({x^3}\) cũng là một số lẻ, suy ra \(x\) là số lẻ
Gọi \(x = 2k + 1\,\,\left( {k \in N} \right)\). Ta có \({x^3} = 2p + 1 \Leftrightarrow {\left( {2k + 1} \right)^3} = 2p + 1\)
\( \Leftrightarrow 8{k^3} + 12{k^2} + 6k + 1 = 2p + 1 \Leftrightarrow 2p = 8{k^3} + 12{k^2} + 6k\)
\( \Leftrightarrow p = 4{k^3} + 6{k^2} + 3k = k\left( {4{k^2} + 6k + 3} \right)\)
Mà \(p\) là số nguyên tố nên \(k = 1 \Rightarrow x = 3\)
Vậy số cần tìm là \(x = 3.\)
Hướng dẫn giải:
+ Chỉ ra \(x\) là số lẻ
+ Gọi \(x = 2k + 1\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) sau đó biển đổi để tìm \(k\). Từ đó tìm ra \(x\)
Chú ý rằng: Số nguyên tố là số chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.