Biết tích phân \(I = \int\limits_0^1 {x{e^{2x}}dx} = a{e^2} + b\) ($a,b$ là các số hữu tỉ). Khi đó tổng \(a + b\) là:
Trả lời bởi giáo viên
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^{2x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \dfrac{{{e^{2x}}}}{2}\end{array} \right.$
$\Rightarrow I = \left. {\dfrac{{x{e^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\dfrac{{{e^{2x}}}}{2}dx = } \left. {\left( {\dfrac{{x{e^{2x}}}}{2} - \dfrac{{{e^{2x}}}}{4}} \right)} \right|_0^1 = \dfrac{{{e^2}}}{4} + \dfrac{1}{4}$
\( \Rightarrow a = \dfrac{1}{4};b = \dfrac{1}{4} \Rightarrow a + b = \dfrac{1}{2}\)
Hướng dẫn giải:
Tính tích phân của hàm số bằng phương pháp tích phân từng phần hoặc đổi biến số.
- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = {e^{ax + b}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}{e^{ax + b}}\end{array} \right.\)
- Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx} = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \)