Câu hỏi:
2 năm trước
Biết rằng tồn tại hai giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: \({x^4} - 10{x^2} + 2{m^2} + 7m = 0\), tính tổng lập phương của hai giá trị đó.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Đặt \(t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), khi đó phương trình trở thành \({t^2} - 10t + 2{m^2} + 7m = 0\) (*)
Phương trình đã cho có 4 nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25 - 2{m^2} - 7m > 0\\10 > 0\\2{m^2} + 7m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < 2{m^2} + 7m < 25\)
Với điều kiện trên thì (*) có 2 nghiệm phân biệt dương là \({t_1},{t_2}\,\,\left( {{t_1} < {t_2}} \right)\). Do đó phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt được sắp xếp theo thứ tự tăng dần như sau \( - \sqrt {{t_2}} , - \sqrt {{t_1}} ,\sqrt {{t_1}} ,\sqrt {{t_2}} \).
Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng thì \( - \sqrt {{t_1}} + \sqrt {{t_2}} = 2\sqrt {{t_1}} \Leftrightarrow 3\sqrt {{t_1}} = \sqrt {{t_2}} \Leftrightarrow 9{t_1} = {t_2}\)
Mà theo định lí Vi-et ta có \({t_1} + {t_2} = 10 \Leftrightarrow 9{t_2} + {t_2} = 10 \Leftrightarrow {t_2} = 1 \Rightarrow {t_1} = 9\)
Lại có \({t_1}{t_2} = 2{m^2} + 7m = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - \dfrac{9}{2}\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)
Do đó \({1^3} + {\left( { - \dfrac{9}{2}} \right)^3} = - \dfrac{{721}}{8}\)
Hướng dẫn giải:
Đặt \(t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2 ẩn $t$.
Tìm điều kiện của $m$ để phương trình bậc hai ẩn $t$ có hai nghiệm dương phân biệt.
Sử dụng tính chất của cấp số cộng \({u_{n - 1}} + {u_{n + 1}} = 2{u_n}\) để suy ra mối quan hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai ẩn $t$
Sử dụng định lý Vi-et.
Giải thích thêm:
Công thức giải nhanh cho bài toán trắc nghiệm:
Phương trình trùng phương \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có bốn nghiệm phân biệt lập thành CSC thì điều kiện cần là \(9{b^2} = 100ac\).
Câu hỏi khác
- Đề thi kiểm tra giữa học kì 1 - Đề số 1 Toán 11 có lời giải chi tiết
- Đề kiểm tra giữa học kì 2 - đề số 3 Toán 11 có lời giải chi tiết
- Đề thi kiểm tra giữa học kì 1 - Đề số 5 Toán 11 có lời giải chi tiết
- Đề thi kiểm tra giữa học kì 1 - Đề số 4 Toán 11 có lời giải chi tiết
- Đề kiểm tra giữa học kì 2 - đề số 2 Toán 11 có lời giải chi tiết
