Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình \(\left( {{{\log }_2}(4x) - 4} \right)\left( {{{\log }_2}x - m} \right) < 0\) chứa đúng 1000 số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Điều kiện: \(x > 0\)

\(\left[ {{{\log }_2}(4x) - 4} \right]\left( {{{\log }_2}x - m} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}x - 2} \right)\left( {{{\log }_2}x - m} \right) < 0\)(*)

TH1: Nếu \(m = 2\)(*) \( \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_2}x - 2} \right)^2} < 0 \Rightarrow \left( * \right)\) vô nghiệm (Loại)

TH2: Nếu \(m < 2\left( * \right) \Leftrightarrow m < {\log _2}x < 2 \Leftrightarrow {2^m} < x < 4\)m<2

=> Tập nghiệm của BPT là \(S = \left( {{2^m};4} \right)\) chứa tối đa 3 số nguyên: 1;2;3(Loại)

TH3: Nếu \(m > 2 \Rightarrow \)\(\left( * \right) \Leftrightarrow 2 < {\log _2}x < m \Leftrightarrow 4 < x < {2^m}\)

=> Tập nghiệm của BPT là \(S = \left( {4;{2^m}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 5 \le x \le {2^m} - 1\\{2^m} - 1 - 5 + 1 = {2^m} - 5\end{array}\)

Theo giả thiết ta có: \({2^m} - 5 = 1000 \Leftrightarrow m = {\log _2}1005 \approx 9,97\)