Y=1/3mx^3-(m-1)x^2+3(m-2)x+1/3 đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho x1+2x2=1

Đáp án: $m\in\{2,\dfrac23\}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$y'=mx^2-2(m-1)x+3(m-2)$

Để $y$ đạt cực trị tai $2$ điểm $x_1,x_2$

$\to y'=0$ có $2$ nghiệm

$\to \begin{cases}m\ne 0\\ \Delta=(-(m-1))^2-3m(m-2)\ge 0\\ x_1+x_2=\dfrac{2(m-1)}{m}\\ x_1x_2=\dfrac{3(m-2)}{m}\end{cases}$

$\to \begin{cases}m\ne 0\\-\sqrt{\frac{3}{2}}+1\le \:m\le \sqrt{\frac{3}{2}}+1\\ x_1+x_2=\dfrac{2(m-1)}{m}\\ x_1x_2=\dfrac{3(m-2)}{m}\end{cases}$

Ta có:

$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{2(m-1)}{m}\\ x_1+2x_2=1\end{cases}$

$\to \begin{cases}x_1=\dfrac{3m-4}{m}\\x_2=\dfrac{-m+2}{m}\end{cases}$

Mà $x_1x_2=\dfrac{3(m-2)}{m}$

$\to \dfrac{3m-4}{m}\cdot \dfrac{-m+2}{m}=\dfrac{3(m-2)}{m}$

$\to \dfrac{(m-2)(6m-4)}{m^2}=0$

$\to m=2$ hoặc $m=\dfrac23$