xét sự biến thiên của hàm số y= 5/x+3 trên khoảng ( -∞;-3) và (-3;+∞)

Đáp án:

 Hàm số nghịch biến trên các khoảng đã cho

Giải thích các bước giải:

\(y = f\left( x \right) = \dfrac{5}{{x + 3}}\)

Với \({x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ; - 3} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}T = \dfrac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} = \dfrac{{\dfrac{5}{{{x_1} + 3}} - \dfrac{5}{{{x_2} + 3}}}}{{{x_1} - {x_2}}}\\ = \dfrac{{5\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + 3} \right)\left( {{x_2} + 3} \right)}} =  - \dfrac{5}{{\left( {{x_1} + 3} \right)\left( {{x_2} + 3} \right)}}\end{array}\)

Do \({x_1},{x_2} <  - 3\) thì \({x_1} + 3 < 0,{x_2} + 3 < 0 \Rightarrow \left( {{x_1} + 3} \right)\left( {{x_2} + 3} \right) > 0\)

Do đó \(T < 0\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\)

Với \({x_1},{x_2} \in \left( { - 3; + \infty } \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}T = \dfrac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)}}{{{x_1} - {x_2}}} = \dfrac{{\dfrac{5}{{{x_1} + 3}} - \dfrac{5}{{{x_2} + 3}}}}{{{x_1} - {x_2}}}\\ = \dfrac{{5\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + 3} \right)\left( {{x_2} + 3} \right)}} =  - \dfrac{5}{{\left( {{x_1} + 3} \right)\left( {{x_2} + 3} \right)}}\end{array}\)

Do \({x_1},{x_2} >  - 3\) thì \({x_1} + 3 > 0,{x_2} + 3 > 0 \Rightarrow \left( {{x_1} + 3} \right)\left( {{x_2} + 3} \right) > 0\)

Do đó \(T < 0\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 3; + \infty } \right)\).