xác định (P):y=a^2+bx+c,a khác 0,biết (P) đi qua M(4;3),cắt Ox tại 2 điểm N(3;0) và và P sao cho tg INP có diện tích bằng 1.Biết hoành độ điểm P<3 và I là đỉnh của Parabol(P)

Đáp án:

$y = {x^2} - 4x + 3$

Giải thích các bước giải:

Vì $\left( P \right)$ đi qua $M(4;3)$ nên $3 = 16a + 4b + c$ (1)

Mặt khác $\left( P \right)$ cắt $Ox$ tại $N(3;0)$ suy ra $0 = 9a + 3b + c$ (2), $\left( P \right)$ cắt $Ox$ tại $P$ nên $P\left( {t;0} \right),\,\,t < 3$

Theo định lý Viét ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t + 3 =  - \dfrac{b}{a}}\\{3t = \dfrac{c}{a}}\end{array}} \right.$

Ta có ${S_{\Delta IPN}} = \dfrac{1}{2}IH.NP$ với $H$ là hình chiếu của $I\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right)$ lên $PN$ hay trục hoành

Do $IH = \left| { - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right|$, $NP = 3 - t$ nên ${S_{\Delta INP}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left| { - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right|.\left( {3 - t} \right) = 1$

$\Leftrightarrow \left( {3 - t} \right)\left| {{{\left( {\dfrac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \dfrac{c}{a}} \right| = \left| {\dfrac{2}{a}} \right| \Leftrightarrow \left( {3 - t} \right)\left| {{{\dfrac{{\left( {t + 3} \right)}}{4}}^2} - 3t} \right| = \left| {\dfrac{2}{a}} \right| \Leftrightarrow {\left( {3 - t} \right)^3} = \dfrac{8}{{\left| a \right|}}$ (3)

Từ (1) và (2) ta có $7a + b = 3 \Leftrightarrow b = 3 - 7a$ suy ra $t + 3 =  - \dfrac{{3 - 7a}}{a} \Leftrightarrow \dfrac{1}{a} = \dfrac{{4 - t}}{3}>0$ do $t<3$

Thay vào (3) ta có ${\left( {3 - t} \right)^3} = \dfrac{{8\left( {4 - t} \right)}}{3} \Leftrightarrow 3{t^3} - 27{t^2} + 73t - 49 = 0 \Leftrightarrow t = 1$

Suy ra $a = 1 \Rightarrow b =  - 4 \Rightarrow c = 3$.

Vậy $\left( P \right)$ cần tìm là $y = {x^2} - 4x + 3$.