`(x^2+y^2)/(xy) + (\sqrt(xy)) /(x+y)` tìm gtnn biết x>0,y>0

Đặt `A=(x^2+y^2)/(xy)+(\sqrt{xy})/(x+y)`

`= (x+y)^2/(xy)-2+(\sqrt{xy})/(x+y)`

`= [(x+y)^2/(xy) +4] + (\sqrt{xy})/(x+y) - 6`

Thật vậy áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số dương `(x+y)^2/(xy),4` ta được :

`(x+y)^2/(xy)+4>= 2\sqrt{(x+y)^2/(xy) . 4} = (4(x+y))/(\sqrt{xy})`

`->A>= (4(x+y))/(\sqrt{xy}) + (\sqrt{xy})/(x+y) - 6`

`->A>= (16(x+y))/(4\sqrt{xy}) + (\sqrt{xy})/(x+y)-6`

`->A>= (15(x+y))/(4\sqrt{xy}) + [(x+y)/(4\sqrt{xy}) + (\sqrt{xy})/(x+y)]-6`

Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số dương `x,y` ta được :

`x+y>= 2\sqrt{xy}`

`->(15(x+y))/(4\sqrt{xy})>= (15.2\sqrt{xy})/(4\sqrt{xy})=15/2`

Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số dương `(x+y)/(4\sqrt{xy}), (\sqrt{xy})/(x+y)` ta được :

`(x+y)/(4\sqrt{xy}) + (\sqrt{xy})/(x+y)>= 2\sqrt{(x+y)/(4\sqrt{xy}) . (\sqrt{xy})/(x+y)}=1`

`->A>=15/2 + 1 - 6=5/2`

Dấu "`=`" xảy ra khi :`x=y`

Vậy GTNN của BT là `5/2<=>x=y`

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Áp dụng BĐT cauchy ta có:

$\dfrac{x^2+y^2}{xy}+\dfrac{\sqrt{xy}}{x+y}=\dfrac{(x+y)^2-2xy}{xy}+\dfrac{\sqrt{xy}}{x+y}\\ =\dfrac{(x+y)^2}{xy}+4+\dfrac{\sqrt{xy}}{x+y}-6\ge 2\sqrt{\dfrac{(x+y)^2}{xy}.4}+\dfrac{\sqrt{xy}}{x+y}-6\\ \ge \dfrac{4(x+y)}{\sqrt{xy}}+\dfrac{\sqrt{xy}}{x+y}-6=\dfrac{15(x+y)}{4\sqrt{xy}}+\dfrac{x+y}{4\sqrt{xy}}+\dfrac{\sqrt{xy}}{x+y}-6\\ \ge \dfrac{15.2\sqrt{xy}}{4\sqrt{xy}}+2\sqrt{\dfrac{x+y}{4\sqrt{xy}}.\dfrac{\sqrt{xy}}{x+y}}-6=\dfrac{15}{2}+2\sqrt{\dfrac{1}{4}}-6=\dfrac{5}{2}$

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y$