Cho đường tròn O R;  và điểm A cố định ngoài đường tròn. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn (M, N là hai tiếp điểm). Kẻ đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn O tại B và C (C nằm giữa A và C). Gọi K là trung điểm của BC. a) Chứng minh 4 điểm A, M, N, O thuộc một đường tròn. b) Chứng minh AM2 = AB.AC. c) Đường thẳng qua B, song song với AM cắt MN tại E. Chứng minh: MNK KBE

Đáp án:

a) $\widehat{AMO}$ = 90 độ 

$\widehat{ANO}$ = 90 độ

⇒ AM, AN là t' của (O)

⇒ A,M,N,O cùng nằm trên đường tròn đường kính OA

b) Xét ΔAMB và ΔACM có

$\widehat{A}$ chung

$\widehat{AMB}$ = $\widehat{ACM}$ = $\frac{1}{2}$ Sđ $\mathop{BM}\limits^{\displaystyle\frown}$

⇒ ΔAMB $\backsim$ ΔACM

⇒ $\frac{AM}{AC}$ = $\frac{AB}{AM}$ ⇒ AM² = AB . AC

c) Ta có OK ⊥ BC ( K là trung điểm BC )

⇒ $\widehat{AKO}$ = 90 độ

⇒ A, K, M, N, O ∈ đường tròn đường kính OA

⇒ $\widehat{MNK}$ = $\widehat{MAK}$ = $\frac{1}{2}$ Sđ $\mathop{MK}\limits^{\displaystyle\frown}$

Mà $\widehat{MAK}$ = $\widehat{KBE}$ ( 2 góc đồng vị )

⇒ $\widehat{MNK}$ = $\widehat{KBE}$