x ² + y ²= 2(m+1) { (x+y) ²=4 xét m để hpt có 4 ng pb mn giúp em giải hpt này vs ạ

Đáp án:

\[\left[ \begin{array}{l}
m > 4\\
m <  - 4
\end{array} \right.\]

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = 2\left( {m + 1} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
{\left( {x + y} \right)^2} = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\\
\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + y = 2\\
x + y =  - 2
\end{array} \right.\\
TH1:\,\,\,\,x + y = 2 \Leftrightarrow y = 2 - x\\
\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {2 - x} \right)^2} = 2\left( {m + 1} \right)\\
 \Leftrightarrow {x^2} + 4 - 4x + {x^2} = 2\left( {m + 1} \right)\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 2 = m + 1\\
 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\
TH2:\,\,\,x + y =  - 2 \Leftrightarrow y =  - 2 - x\\
\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} + {\left( { - 2 - x} \right)^2} = 2\left( {m + 1} \right)\\
 \Leftrightarrow 2{x^2} + 4x + 4 = 2\left( {m + 1} \right)\\
 \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 2 = m + 1\\
 \Leftrightarrow {x^2} + \left( {2 - m} \right)x + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)
\end{array}\)

Hệ đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (3) và (4) đều có 2 nghiệm phân biệt và các nghiệm phải khác nhau.

Nếu pt (3) và (4) có nghiệm bằng nhau thì \(x = 0\)

Do đó, để hệ đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì pt (3) và (4) đều có 2 nghiệm phân biệt, khác 0.

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
Δ_3 > 0\\
Δ_4 > 0\\
{0^2} - \left( {m + 2} \right).0 + 1 \ne 0\\
{0^2} + \left( {2 - m} \right).0 + 1 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {m + 2} \right)^2} - 4 > 0\\
{\left( {2 - m} \right)^2} - 4 > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} + 4m > 0\\
{m^2} - 4m > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > 0\\
m <  - 4
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 4\\
m < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 4\\
m <  - 4
\end{array} \right.
\end{array}\)