Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) với B, C là các tiếp điểm. Kẻ một đường thẳng d nằm giữa hai tia AB, AO và đi qua A cắt đường tròn (O) tại E, F (E nằm giữa A, F). Đường thẳng qua O vuông góc với EF cắt BC tại E. a, Chứng minh SF là tiếp tuyến của đường tròn (O). b, Đường thẳng SF cắt các đường thẳng AB và AC tương ứng tại P và Q. Đường thẳng OF cắt BC tại K. Chứng minh rằng AK đi qua trung điểm của PQ.

a)

Gọi $H$ là giao điểm $OA$ và $BC$

Gọi $I$ là giao điểm $EF$ và $SO$

Hệ thức lượng: $OH.OA=O{{B}^{2}}=O{{F}^{2}}$

$\Delta OIA\backsim\Delta OHS\left( g.g \right)\Rightarrow OH.OA=OI.OS$

$\Rightarrow O{{F}^{2}}=OI.OS$

$\Rightarrow SF$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$

b)

Gọi $D$ là giao điểm $AK$ và $PQ$

Qua $K$ vẽ đường thẳng song song $PQ$ cắt $AP$ tại $G$ và cắt $AQ$ tại $J$

Do $SF$ là tiếp tuyến nên $OF\bot SF$

Tức là $OK\bot GJ$

$\Rightarrow OBGK$ nội tiếp và $OKCJ$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{BOG}=\widehat{BKG}$   và   $\widehat{COJ}=\widehat{CKJ}$

Mà $\widehat{BKG}=\widehat{COJ}$ (đối đỉnh)

Nên $\widehat{BOG}=\widehat{COJ}$

$\Rightarrow \Delta BOG=\Delta COJ\left( cgv-gn \right)$

$\Rightarrow OG=OJ$

$\Rightarrow K$ là trung điểm $GJ$

Ta-let: $\begin{cases}\dfrac{AK}{AD}=\dfrac{KG}{DP}\\\dfrac{AK}{AD}=\dfrac{KJ}{DQ}\end{cases}$

$\Rightarrow \dfrac{KG}{DP}=\dfrac{KJ}{DQ}$

Mà $KG=KJ$ nên $DP=DQ$

Vậy $AK$ đi qua trung điểm $D$ của $PQ$