Trong mặt phẳng với hệ tọa độ `Oxy`, cho tam giác `ABC` có `M(2;0)` là trung điểm của cạnh `AB`. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh `A` lần lượt có phương trình là `7x-2y-3=0` và `6x-y-4=0`. Phương trình đường thẳng `AC` là: `A.3x-4y-5=0` `B.3x+4y+5=0` `C.3x-4y+5=0` `D.3x+4y-5=0`

Đáp án: $C.\,\,3x-4y+5=0$

Giải thích các bước giải:

$M\left( 2;0 \right)$

Gọi $AH$ là đường cao $\Rightarrow AH:6x-y-4=0$

Gọi $AD$ là đường trung tuyến $\Rightarrow AD:7x-2y-3=0$

Tọa độ $A$ là nghiệm của hệ $\begin{cases}7x-2y-3=0\\6x-y-4=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}\Rightarrow A\left( 1;2 \right)$

Vì $M$ là trung điểm $AB$

Nên $\begin{cases}x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}\\y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x_B=2x_M-x_A=2.2-1=3\\y_B=2y_M-y_A=2.0-2=-2\end{cases}\Rightarrow B\left(3;-2\right)$

Đường thẳng $AH:6x-y-4=0$ có VTPT là $\left( 6;-1 \right)$

Mà $AH\bot BC$ nên $\left( 6;-1 \right)$ là VTCP của đường thẳng $BC$

Do đó $\left( 1;6 \right)$ là VTPT của đường thẳng $BC$

Và đường thẳng $BC$ đi qua $B\left( 3;-2 \right)$

Nên phương trình đường thẳng $BC$ có dang:

$BC:1\left( x-3 \right)+6\left( y+2 \right)=0\Leftrightarrow x+6y+9=0$

Ta có $AD$ giao $BC$ tại $D$ nên

Tọa độ $D$ là nghiệm của hệ $\begin{cases}7x-2y-3=0\\x+6y+9=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\y=-\dfrac{3}{2}\end{cases}\Rightarrow D\left(0;-\dfrac{3}{2}\right)$

Mà $D$ là trung điểm $BC$

Nên $\begin{cases}x_D=\dfrac{x_B+x_C}{2}\\y_D=\dfrac{y_B+y_C}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x_C=2x_D-x_B=2.0-3=-3\\y_C=2y_D-y_B=2.\left(-\dfrac{3}{2}\right)+2=-1\end{cases}\Rightarrow C\left(-3;-1\right)$

Vậy với $A\left( 1;2 \right)\,\,,\,\,C\left( -3;-1 \right)$

$\Rightarrow $Đường thẳng $AC$ có VTCP $\overrightarrow{AC}=\left( -4;-3 \right)$

$\Rightarrow $Đường thẳng $AC$ có VTPT là $\left( 3;-4 \right)$

Mà đường thẳng $AC$ đi qua $A\left( 1;2 \right)$

Nên phương trình $AC$ có dạng:

$AC:3\left( x-1 \right)-4\left( y-2 \right)=0\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,AC:3x-4y+5=0$

Chọn câu $C$