Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d): x-y+6=0 và 2 điểm A(2;2) ,B(3;0) . Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng (d) sao cho MA + MB nhỏ nhất

Đáp án:$M(\frac{-6}{5};\frac{24}{5})$

Giải thích các bước giải:

 $\overrightarrow{AB}=(1;-2)\Rightarrow vtpt:\overrightarrow{n_{AB}}=(2;1)\\
Pt(AB):2(x-2)+(y-2)=0\Leftrightarrow 2x+y-6=0$

Ta có:(2-2+6).(3-0+6)>0⇒A và B cùng phía so với (d)

Gọi A' là điểm đối xứng của A qua (d)

Gọi I là trung điểm AA' $\Rightarrow I\in(d)\Rightarrow I(t;t+6)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AI}=(t-2;t+4)\\
AI\perp (d)\Rightarrow vtcp \overrightarrow{u_d}\perp \overrightarrow{AI}\Rightarrow \overrightarrow{n_d}=k\overrightarrow{AI}\\
\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
1=k(t-2) &  & \\ 
-1=k(t+4) &  & 
\end{matrix}\right.\Rightarrow t=-1;k=\frac{-1}{3}\\
\Rightarrow I(-1;5)\Rightarrow A'(-4;8)$

Ta có MA+MB=MA'+MB(do M nằm trên (d);A và A' đối xứng với nhau qua (d))

⇒(MA+MB)min⇔(MA'+MB)min⇔A',M,B thẳng hàng

$\Rightarrow M=A'B\cap (d)\\
\overrightarrow{A'B}=(7;-8)\Rightarrow vtpt:\overrightarrow{n_{AB}}=(8;7)\\
\Rightarrow pt(A'B):8(x-3)+7y=0\Leftrightarrow 8x+7y-24=0\\
\Rightarrow M(\frac{-6}{5};\frac{24}{5})$