Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho đường thẳng (d) :x-y+6=0 và 2 điểm A(2;2) ,B(3;0) . Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng (d) sao cho MA + MB nhỏ nhất

Đáp án:

M(-1;5).

Giải thích các bước giải:

Ta có:

2-2+6=6>0

3-0+6=9>0

=> A, B nằm cùng phía đối với đường thẳng d.

Gọi A' là điểm đối xứng với A qua d.

Gọi d' là phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với d.

=> d': x+y-4=0

Gọi H là giao điểm của d và d' => H(-1;5) là trung điểm của AA'

=> A'(-4;8)

Ta có MA = MA' (tính chất đối xứng)

=> MA+MB = MA'+MB \(\ge\) AB.

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi M = A'B giao d.

Phương trình đường thẳng A'B là: x

\(\frac{{x - 2}}{{ - 4 - 2}} = \frac{{y - 2}}{{8 - 2}} \Leftrightarrow x - 2 =  - y + 2 \Leftrightarrow x + y - 4 = 0\)

Vậy M(-1;5).