Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thang ABCD (AB//CD) , biết A(1,-1,1),B(3,1,2),D(-1,0,3) và góc BCD = 45 độ. xác định tọa độ đỉnh C ? Gợi ý cách làm cũng được ạ

Đáp án:

\(\left[ \matrix{ C\left( { - 1;0;3} \right) \hfill \cr C\left( {3;4;5} \right) \hfill \cr} \right.\)

Giải thích các bước giải:

\(\eqalign{ & Goi\,\,C\left( {a;b;c} \right) \cr & \overrightarrow {AB} = \left( {2;2;1} \right) \cr & \overrightarrow {DC} = \left( {a + 1;b;c - 3} \right) \cr & \overrightarrow {AB} //\overrightarrow {CD} \Rightarrow \exists k \in R:\,\,\overrightarrow {DC} = k\overrightarrow {AB} \,\,\left( {k > 0} \right) \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ a + 1 = 2k \hfill \cr b = 2k \hfill \cr c - 3 = k \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = 2k - 1 \hfill \cr b = 2k \hfill \cr c = k + 3 \hfill \cr} \right. \Rightarrow C\left( {2k - 1;2k;k + 3} \right) \cr & \Rightarrow \overrightarrow {CB} = \left( {4 - 2k;1 - 2k; - 1 - k} \right) \cr & \,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {CD} = \left( { - 2k; - 2k; - k} \right) \cr & \left( {\overrightarrow {CD} ;\overrightarrow {CB} } \right) = {45^0} \cr & \Rightarrow \cos {45^0} = {{\left| {\overrightarrow {CD} .\overrightarrow {CB} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {CD} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|}} \cr & \Leftrightarrow {{\sqrt 2 } \over 2} = {{\left| {\left( {4 - 2k} \right)\left( { - 2k} \right) + \left( {1 - 2k} \right)\left( { - 2k} \right) + \left( { - 1 - k} \right)\left( { - k} \right)} \right|} \over {\sqrt {{{\left( {4 - 2k} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2k} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - k} \right)}^2}} \sqrt {{{\left( { - 2k} \right)}^2} + {{\left( { - 2k} \right)}^2} + {{\left( { - k} \right)}^2}} }} \cr & \Leftrightarrow {{\sqrt 2 } \over 2} = {{\left| { - 8k + 4{k^2} - 2k + 4{k^2} + k + {k^2}} \right|} \over {\sqrt {16 - 16k + 4{k^2} + 1 - 4k + 4{k^2} + {k^2} + 2k + 1} \sqrt {9{k^2}} }} \cr & \Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 2 }} = {{\left| {9{k^2} - 9k} \right|} \over {\sqrt {9{k^2} - 18k + 18} .3k}} = {{\left| {k - 1} \right|} \over {\sqrt {{k^2} - 2k + 2} }} \cr & \Leftrightarrow \left( {{k^2} - 2k + 2} \right) = 2\left( {{k^2} - 2k + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow {k^2} - 2k = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ k = 0 \hfill \cr k = 2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left[ \matrix{ C\left( { - 1;0;3} \right) \hfill \cr C\left( {3;4;5} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)