Trình bày mối liên hệ giữa hạng của ma trận, hạng của hệ vecto và sự độc lập tuyến tính. Cho ví dụ minh họa

Trong không gian vector $\Bbb R^n$ cho hệ vector tùy ý $\{u_1;u_2;\dots;u_m\}$.

Ma trận $A$ là ma trận mà các vector $u_1;u_2;\dots;u_m$ lần lượt là các dòng $1,2,\dots,m$

Khi đó:

$\bullet$ Hệ $\{u_1;u_2;\dots;u_m\}$ độc lập tuyến tính khi và chỉ khi $rank(A)  = m$

$\bullet$ Hệ $\{u_1;u_2;\dots;u_m\}$ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi $rank(A) < m$

Ví dụ:

Trong $\Bbb R^4$ cho hệ vector sau:

$u_1 = (1;2;1;1),\ u_2 = (2;5;6;5),\ u_3 = (4;9;10;5)$

Xét ma trận $A$ là ma trận mà $u_1,u_2,u_3$ lần lượt là các dòng $1,2,3$

Ta được:

$A = \left(\matrix{1&2&1&1\\2&5&6&5\\4&9&10&5}\right) = \left(\matrix{1&2&1&1\\0&1&2&3\\0&1&2&1}\right) =\left(\matrix{1&2&1&1\\0&1&2&3\\0&0&0&-2}\right)$

(biến đổi sơ cấp trên dòng đưa $A$ về dạng bậc thang)

$\Rightarrow rank(A) = 3$

Vậy hệ vector $\{u_1,u_2,u_3\}$ độc lập tuyến tính