tính: M=1+2+2^2+2^3+.........+2^100 N=1+3^2+3^3+..........3^100 Q=1+5^3+5^6+..........+5^99

$\begin{array}{l} + )\,\,\,M = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}\\ \Rightarrow 2M = 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ..... + {2^{101}}\\ \Rightarrow 2M - M = \left( {2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ..... + {2^{101}}} \right) - \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}} \right)\\ \Leftrightarrow M = {2^{101}} - 1.\\ + )\,\,N = 1 + {3^2} + {3^3} + .... + {3^{100}}\\ \Rightarrow 3N = 3 + {3^3} + {3^4} + .... + {3^{101}}\\ \Rightarrow 3N - N = \left( {3 + {3^3} + {3^4} + .... + {3^{101}}} \right) - \left( {1 + {3^2} + {3^3} + .... + {3^{100}}} \right)\\ \Leftrightarrow 2N = {3^{101}} - 2\\ \Leftrightarrow N = \frac{{{3^{101}} - 2}}{2}.\\ Q = 1 + {5^3} + {5^6} + ..... + {5^{99}}\\ \Rightarrow {5^3}.Q = {5^3} + {5^6} + {5^9} + .... + {5^{102}}\\ \Rightarrow {5^3}.Q - Q = \left( {{5^3} + {5^6} + {5^9} + .... + {5^{102}}} \right) - \left( {1 + {5^3} + {5^6} + ..... + {5^{99}}} \right)\\ \Leftrightarrow 124Q = {5^{102}} - 1\\ \Leftrightarrow Q = \frac{{{5^{102}} - 1}}{{124}}. \end{array}$

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