tính định thức cấp n biết: aij=Min(i,j)

Đáp án:

$\det(A) = 1$ với $A$ là ma trận thỏa mãn $a_{ij} = \min(i;j)$ 

Giải thích các bước giải:

Gọi $A$ là ma trận thỏa mãn: $a_{ij} = \min(i;j)$

$\Rightarrow A = \left(\matrix{1&1&1&1&\cdots&1\\1&2&2&2&\cdots&2\\1&2&3&3&\cdots&3\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\1&2&3&4&\cdots&n}\right)$

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\quad\det(A) = \left|\matrix{1&1&1&1&\cdots&1\\1&2&2&2&\cdots&2\\1&2&3&3&\cdots&3\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\1&2&3&4&\cdots&n}\right|\\
\mathop{=\kern-2pt=\kern-2pt=\kern-2pt=\kern-2pt=\kern-2pt=\kern-2pt=}\limits^{\begin{array}{l}
r_2 - r_1 \to r_2\\
r_3 - r_1 \to r_3\\
\cdots\\
r_n - r_1 \to r_n
\end{array}} \ \left|\matrix{1&1&1&1&\cdots&1\\0&1&1&1&\cdots&1\\0&1&2&2&\cdots&2\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\0&1&2&3&\cdots&n-1}\right|\\
\mathop{=\kern-2pt=\kern-2pt=\kern-2pt=\kern-2pt=\kern-2pt=\kern-2pt=}\limits^{\begin{array}{l}
r_3 - r_2 \to r_3\\
r_4 - r_2 \to r_4\\
\cdots\\
r_n - r_2 \to r_n
\end{array}} \ \left|\matrix{1&1&1&1&\cdots&1\\0&1&1&1&\cdots&1\\0&0&1&1&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\0&0&1&2&\cdots&n-2}\right|\\
\cdots\cdots\cdots\\
\mathop{=\kern-2pt=\kern-2pt=\kern-2pt=\kern-2pt=\kern-2pt=\kern-2pt=}\limits^{r_n - r_{n-1} \to r_n}\ \left|\matrix{1&1&1&1&\cdots&1\\0&1&1&1&\cdots&1\\0&0&1&1&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\0&0&0&0&\cdots&1}\right|\\
\Rightarrow \det(A) = 1
\end{array}\)