Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = -x^3 + (m+1)x^2 + 2x - 3 đồng biến trên khoảng [0;2]. Giúp mình bài này với. Mình cảm ơn

Đáp án:

\(m \ge {3 \over 2}\)

Giải thích các bước giải:

$$\eqalign{ & y = - {x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} + 2x - 3\,\,DB/\left[ {0;2} \right] \cr & y' = - 3{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 2 \ge 0\,\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right) \cr & \Leftrightarrow 2\left( {m + 1} \right)x \ge 3{x^2} - 2\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right) \cr & \Leftrightarrow m + 1 \ge {{3{x^2} - 2} \over {2x}} = f\left( x \right)\,\,\left( {Do\,\,x \in \left( {0;2} \right)} \right) \cr & \Leftrightarrow m + 1 \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) \cr & f'\left( x \right) = {{6x.2x - 2\left( {3{x^2} - 2} \right)} \over {4{x^2}}} = {{6{x^2} + 4} \over {4{x^2}}} > 0\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right) \cr & \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = {{3.4 - 2} \over 4} = {5 \over 2} \cr & Vay\,\,m + 1 \ge {5 \over 2} \Leftrightarrow m \ge {3 \over 2} \cr} $$