Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho các số 7p + q và pq + 11 cũng là các số nguyên tố.

Đáp án+Giải thích các bước giải:

7p + q và pq + 11 đều là số nguyên tố.
pq + 11 là số nguyên tố → pq phải là số chẵn → hoặc p = 2 hoặc q = 2.
- Nếu p = 2 → 7p + q = 14 + q.
 Ta thấy 14 chia 3 dư 2 ;
+)Nếu q chia hết cho 3,q là số nguyên tố → q = 3
→7p + q = 17 → là số nguyên tố
→ pq + 11 = 17 → là số nguyên tố -> thỏa
+) nếu q chia 3 dư 1 → 14 + q chia hết cho 3 -> là hợp số -> loại
+) nếu q chia 3 dư 2 → 2q chia 3 dư 1 → pq + 11 = 2q + 11 chia hết cho 3 → là hợp số → loại
- Nếu q = 2 → 7p + q = 2 + 7p
 2 chia 3 dư 2 ;
+)Nếu 7p chia hết cho 3 → p chia hết cho 3 → p = 3.
→ 7p + q = 23.
→ pq + 11 = 17 → đều là số nguyên tố → thỏa mãn.
+)Nếu 7p chia 3 dư 1 → 2 + 7p chia hết cho 3 → là hợp số → loại.
+)Nếu 7p chia 3 dư 2 → p chia 3 dư 2 → 2p chia 3 dư 1.
→pq + 11 = 2p + 11 chia hết cho 3 → là hợp số → loại.
Hai giá trị của p ; q thỏa mãn là : p = 2 ; q = 3 hoặc p = 3 ; q = 2