Tìm tất cả các số nguyên n để $n^{4}$ + $3n^{3}$ + $3n^{2}$ là số chính phương

Đáp án: $n=0$,$n=-1$,$n=-2$

Giải thích các bước giải:

Đặt $P={{n}^{4}}+3{{n}^{3}}+3{{n}^{2}}$

Nếu $n=0$ thì $P=0$ là số chính phương

Nhận $n=0$

Nếu $n\ne 0$ thì $P={{n}^{2}}\left( {{n}^{2}}+3n+3 \right)$

Để $P$ là số chính phương

Thì ${{n}^{2}}+3n+3$ là số chính phương

Đặt ${{n}^{2}}+3n+3={{A}^{2}}$

$\Leftrightarrow 4{{n}^{2}}+12n+12=4{{A}^{2}}$

$\Leftrightarrow \left( 4{{n}^{2}}+12n+9 \right)+3=4{{A}^{2}}$

$\Leftrightarrow 4{{A}^{2}}-{{\left( 2n+3 \right)}^{2}}=3$

$\Leftrightarrow \left( 2A-2n-3 \right)\left( 2A+2n+3 \right)=3=1.3=3.1=\left( -1 \right).\left( -3 \right)=\left( -3 \right).\left( -1 \right)$

Tới đây sẽ có các cặp:

$2A-2n-3=3$   và   $2A+2n+3=1$

$2A-2n-3=1$   và   $2A+2n+3=3$

$2A-2n-3=-3$   và   $2A+2n+3=-1$

$2A+2n+3=-1$   và   $2A+2n+3=-3$

Giải các cặp ra sẽ tìm được 2 giá trị là $n=-2$ và $n=-1$

Kết luận: $n=0,n=-1,n=-2$ thì ${{n}^{4}}+3{{n}^{3}}+3{{n}^{2}}$ là số chính phương