Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốm để đồ thị hàm số y=2x^4 -mx^2+1 có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác vuông

Giải.

Ta có: $y=2x^4-mx^2+1$

$y'=8x^3-2mx$

$y'=0 \Leftrightarrow 8x^3-2mx=0  \Leftrightarrow 2x(4x^2-m)=0$ $(1)$

Hàm số đã cho có $3$ cực trị khi $(1)$ có $3$ nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m>0$

Gọi $A,B,C$ là các điểm cực trị, khi đó hoành độ của chúng là

$x_A=0,x_B=-\dfrac{\sqrt{m}}{2},x_C=\dfrac{\sqrt{m}}{2}$.

Thay vào $y$, ta có tọa độ của chúng là:

$A(0;1),B(-\dfrac{\sqrt{m}}{2};-\dfrac{m^2}{8}+1),C(\dfrac{\sqrt{m}}{2};-\dfrac{m^2}{8}+1)$

Vì tam giác $ABC$ chỉ có thể vuông tại $A$ nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$ $(2)$

Với $\overrightarrow{AB}=(-\dfrac{\sqrt{m}}{2};-\dfrac{m^2}{8});\overrightarrow{AC}=(\dfrac{\sqrt{m}}{2};-\dfrac{m^2}{8})$

Thay vào $(2)$ ta được $-\dfrac{m^2}{4}+\dfrac{m^4}{64}=0 \Rightarrow m=4.$