Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=(x^3) -2(x^2) +(1-m)x + m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1,x2,x3 thõa mãn điều kiện: (x1)^2 + (x2)^2 + (x3)^2 < 4 thanks mn

Đáp án:

$-\dfrac{1}{4} < m < 1$ và $m \neq 0$

Lời giải:

Để hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm phải có 3 nghiệm phân biệt:

$x^3 - 2x^2 + (1-m)x + m = 0$

$(x-1)(x^2 -x -m) = 0$

Ta đặt $x_1 = 1$. Khi đó, để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình sau phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1

$x^2 - x - m = 0$.

Do có nghiệm khác 1 nên $1 - 1 - m \neq 0$ hay $m \neq 0$.

Ta có $\Delta = 1 + 4m$

Để có 2 nghiệm phân biệt thì $\Delta>0$ hay $m > -\dfrac{1}{4}$.

Theo điều kiện của đề bài ta có

$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 < 4$

$\Leftrightarrow 1 + (x_2 + x_3)^2 - 2x_2 x_3 < 4$

$\Leftrightarrow (x_2 + x_3)^2 - 2x_2 x_3 < 3$

với $x_2, x_3$ là nghiệm của phương trình bậc 2 trên.

Áp dụng Viet ta có

$1^2 - 2 (-m) < 3$

$\Leftrightarrow m < 1$.

Kết hợp các điều kiện ta có $-\dfrac{1}{4} < m < 1$ và $m \neq 0$.