Tìm tất cả các giá trị m để pt : x²-4x+6+3m=0 có nghiệm thuộc đoạn [-1;3]

Đáp án:

$- \frac{{11}}{3} \le m \le  - \frac{2}{3}$

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}{x^2} - 4x + 6 + 3m = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 6 =  - 3m\end{array}$

Số nghiệm của phương trình (*) trên $\left[ { - 1;\,3} \right]$  là số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = {x^2} - 4x + 6$ và đường thẳng $y =  - 3m$ trên $\left[ { - 1;\,\,3} \right].$

Xét hàm số: $y = {x^2} - 4x + 6$ trên $\left[ { - 1;\,\,3} \right]$ ta có:

Đồ thị hàm có đỉnh là: $I\left( {2;\,\,2} \right)$ và đồ thị hàm số như hình vẽ.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm trên $\left[ { - 1;\,\,3} \right] \Leftrightarrow$ đường thẳng $y =  - 3m$ cắt đồ thị hàm số $y = {x^2} - 4x + 6$ trên $\left[ { - 1;\,\,3} \right]$

$\Leftrightarrow 2 \le  - 3m \le 11 \Leftrightarrow  - \frac{{11}}{3} \le m \le  - \frac{2}{3}.$