Tìm tất cả các giá trị m để phương trình: $m\sqrt{2-x}=\dfrac{x^2-2mx+2}{\sqrt{2-x}}$ có nghiệm dương.

Đáp án:

Để phương trình có nghiệm dương thì $-4+2\sqrt6<m<1$.

Giải thích các bước giải:

$m\sqrt{2-x}=\dfrac{x^2-2mx+2}{\sqrt{2-x}}$

Đk: $2-x>0\Leftrightarrow x<2$

$\Leftrightarrow m|2-x|=x^2-2mx+2$ (do $2-x>0\Rightarrow |2-x|=2-x$)

Pt $\Leftrightarrow 2m-mx=x^2-2mx+2$

$\Leftrightarrow x^2-mx-2m+2=0$

$\Delta=m^2-4(2-2m)=m^2+8m-8\ge0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m\ge-4+2\sqrt6\\ m\le-4-2\sqrt6\end{array} \right.$ (1)

Theo Vi-et ta có: $\left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=m\\ x_1x_2=2-2m\end{array} \right.$

Th1: phương trình có 1 nghiệm dương thì $x_1+x_2\ge0\Rightarrow m\ge0$ (2)

Th2: phương trình có 2 nghiệm dương thì:

$ \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2>0\\ x_1.x_2>0\end{array} \right.\Rightarrow 0<m<1$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra để phương trình có nghiệm dương thì $-4+2\sqrt6\le m<1$.