Tìm số tự nhiên `n` để các tổng sau là số chính phương. a, `A=n^2+2n+12` b, `B=n(n+3)` c, `C=13n+3` d, `D=n^2+n+1589` e, `E=2^8+2^11+2^n` Mọi người giúp mình với ạ !

Đáp án:

`a)` `A=n^2+2n+12` là số chính phương thì `n=4`

`b)` `B=n.(n+3)` là số chính phương thì `n\in{0;1}`

`c)` `C=13n+3` là số chính phương thì `n=13k^2+-8k+1`

`d)` `D=n^2+n+1589` là số chính phương thì `n\in{28;43;316;1588}`

`e)` `E=2^8+2^11+2^n` là số chính phương thì `n=12`

Giải thích các bước giải:

`a)`
`A=n^2+2n+12`
`A=n^2+2n+1+11`
`A=(n+1)^2+11`
Đặt `A=(n+1)^2+11=k^2(k\inNN)`
`<=>(n+1)^2+11=k^2`
`<=>(n+1)^2-k^2=-11`
`<=>k^2-(n+1)^2=11`
`<=>(k-n-1)(k+n+1)=11`
Ta có:
`k-n-1<k+n+1` và `k;n` là số tự nhiên
Nên `(k-n-1)(k+n+1)=1.11`
`{(k-n-1=1),(k+n+1=11):}`
`<=>{(k-n=2),(k+n=10):}`
`<=>{(2k=12),(k+n=10):}`
`<=>{(k=6),(n=4):}`
Vậy để `A=n^2+2n+12` là số chính phương thì `n=4`
`b)`
`B=n.(n+3)`
`B=n^2+3n`
Đặt `n^2+3n=k^2`
`<=>n^2+3n-k^2=0`
`<=>4.(n^2+3n-k^2)=0`
`<=>4n^2+12n-4k^2=0`
`<=>(2n)^2+2.2n.3+3^2-(2k)^2=9`
`<=>(2n+3)^2-(2k)^2=9`
`<=>(2n+3+2k)(2n+3-2k)=9`
Ta có:`2n+3+2kge2n+3-2k` và `n;k` là số tự nhiên
`<=>(2n+3+2k)(2n+3-2k)=9.1=3.3`
TH`1`:`(2n+3+2k)(2n+3-2k)=3.3`
`{(2n+2k=0),(2n-2k=0):}`
`<=>{(n=0),(k=0):}` 
TH`2`:`(2n+3+2k)(2n+3-2k)=9.1`
`{(2n+3+2k=9),(2n+3-2k=1):}`
`<=>{(2n+2k=6),(2n-2k=-2):}`
`<=>{(4n=4),(2n-2k=-2):}`
`<=>{(n=1),(2-2k=-2):}`
`<=>{(n=1),(k=2):}`
Vậy để `B=n.(n+3)` là số chính phương thì `n\in{0;1}`
`c)`
`C=13n+3`
Đặt `C=13n+3=k^2`
`<=>13n+3-16=k^2-16`
`<=>13.(n-1)=(k-4)(k+4)`
Ta có:
`13` là số nguyên tố
`13.(n-1)\vdots13`
`<=>k-4\vdots13` hoặc `k+4\vdots13`
`<=>k=13k+4` hoặc `k=13k-4`
`<=>k=13k+-4`
`<=>13.(n-1)=(13k+-4)^2-16`
`<=>13.(n-1)=13^2 k^2+-104k+16-16`
`<=>13.(n-1)=13^2 . k^2+-104k`
`<=>n-1=13k^2+-8k`
`<=>n=13k^2+-8k+1`
Vậy để `C=13n+3` là số chính phương thì `n=13k^2+-8k+1`
`d)`
`D=n^2+n+1589`
Đặt `D=n^2+n+1589=k^2`
`<=>n^2+n+1589-k^2=0`
`<=>4.(n^2+n+1589-k^2)=0`
`<=>4n^2+4n+6356-4k^2=0`
`<=>(2n)^2+2.2n.1+1+6355-(2k)^2=0`
`<=>(2n+1)^2-(2k)^2=-6355`
`<=>(2k)^2-(2n+1)^2=6355`
`<=>(2k+2n+1)(2k-2n-1)=6355`
Ta có:
`2k+2n+1>2k-2n-1` và `k;n` là số tự nhiên
`<=>(2k+2n+1)(2k-2n-1)=155.41=205.31=1271.5=6355.1`
TH`1`:`(2k+2n+1)(2k-2n-1)=155.41`
`{(2k+2n+1=155),(2k-2n-1=41):}`
`<=>{(2k+2n=154),(2k-2n=42):}`
`<=>{(4k=196),(2k-2n=42):}`
`<=>{(k=49),(98-2n=42):}`
`<=>{(k=49),(n=28):}`
TH`2`:`(2k+2n+1)(2k-2n-1)=205.31`
`{(2k+2n+1=205),(2k-2n-1=31):}`
`<=>{(2k+2n=204),(2k-2n=32):}`
`<=>{(4k=236),(2k-2n=32):}`
`<=>{(k=59),(118-2n=32):}`
`<=>{(k=59),(n=43):}`
TH`3`:`(2k+2n+1)(2k-2n-1)=1271.5`
`{(2k+2n+1=1271),(2k-2n-1=5):}`
`<=>{(2k+2n=1270),(2k-2n=6):}`
`<=>{(4k=1276),(2k-2n=6):}`
`<=>{(k=319),(638-2n=6):}`
`<=>{(k=319),(n=316):}`
TH`4`:`(2k+2n+1)(2k-2n-1)=6355.1`
`{(2k+2n+1=6355),(2k-2n-1=1):}`
`<=>{(2k+2n=6354),(2k-2n=2):}`
`<=>{(4k=6356),(2k-2n=2):}`
`<=>{(k=1589),(3178-2n=2):}`
`<=>{(k=1589),(n=1588):}`
Vậy để `D=n^2+n+1589` là số chính phương thì `n\in{28;43;316;1588}`
`e)`
`E=2^8+2^11+2^n`
`E=2^8 . (1+2^3+2^(n-8))`
`E=(2^4)^2 . (1^2+2.1.2^2+16+2^(n-8)-16)`
`E=(2^4)^2 . [(1+2^2)^2+2^(n-8)-16]`
Để `E` là số chính phương thì `2^(n-8)-16=0`
`<=>2^(n-8)=16`
`<=>2^(n-8)=2^4`
`<=>n-8=4`
`<=>n=12`
Vậy để `E=2^8+2^11+2^n` là số chính phương thì `n=12`

Đáp án:

a) $n=4$

b) $n=0$ ; $n=1$

c) $n=13{{k}^{2}}\pm 8k+1$

d) $n=1588$ ; $n=316$ ; $n=43$ ; $n=28$

e) $n=12$

Giải thích các bước giải:

a)  ${{n}^{2}}+2n+12$

Để là số chính phương thì:

${{n}^{2}}+2n+12={{A}^{2}}$

$\Leftrightarrow \left( {{n}^{2}}+2n+1 \right)+11={{A}^{2}}$

$\Leftrightarrow {{\left( n+1 \right)}^{2}}+11={{A}^{2}}$

$\Leftrightarrow {{A}^{2}}-{{\left( n+1 \right)}^{2}}=11$

$\Leftrightarrow \left( A-n-1 \right)\left( A+n+1 \right)=11=1.11$

Do $A-n-1<A+n+1$

Nên $\begin{cases}A-n-1=1\\A+n+1=11\end{cases}$$\Leftrightarrow $$\begin{cases}A=6\\n=4\end{cases}$

b)  $n\left( n+3 \right)$

Để là số chính phương thì:

$n\left( n+3 \right)={{A}^{2}}$

$\Leftrightarrow {{n}^{2}}+3n={{A}^{2}}$

$\Leftrightarrow 4{{n}^{2}}+12n=4{{A}^{2}}$

$\Leftrightarrow \left( 4{{n}^{2}}+12n+9 \right)-9=4{{A}^{2}}$

$\Leftrightarrow {{\left( 2n+3 \right)}^{2}}-4{{A}^{2}}=9$

$\Leftrightarrow \left( 2n+3-2A \right)\left( 2n+3+2A \right)=9=1.9=3.3$

Mà do $2n+3-2A\le 2n+3+2A$

Nên $\begin{cases}2n+3-2A=1\\2n+3+2A=9\end{cases}$   hoặc  $\begin{cases}2n+3-2A=3\\2n+3+2A=3\end{cases}$

$\Leftrightarrow $$\begin{cases}n=1\\A=2\end{cases}$   hoặc   $\begin{cases}n=0\\A=0\end{cases}$

c)  $13n+3$

Để là số chính phương thì:

$13n+3={{A}^{2}}$

$\Leftrightarrow 13n-13+16={{A}^{2}}$

$\Leftrightarrow 13\left( n-1 \right)={{A}^{2}}-16$

$\Leftrightarrow 13\left( n-1 \right)=\left( A-4 \right)\left( A+4 \right)$

Mà do $13$ là số nguyên tố

Nên $\left( A-4 \right)\left( A+4 \right)$ chia hết cho $13$

$\Leftrightarrow A\pm 4=13k\,\,\,\,\,\left( k\in \mathbb{N} \right)$

$\Leftrightarrow A=13k\pm 4$

Có: $13\left( n-1 \right)={{A}^{2}}-16$

$\Leftrightarrow 13\left( n-1 \right)={{\left( 13k\pm 4 \right)}^{2}}-16$

$\Leftrightarrow 13\left( n-1 \right)=169{{k}^{2}}\pm 104k$

$\Leftrightarrow n-1=13{{k}^{2}}\pm 8k$

$\Leftrightarrow n=13{{k}^{2}}\pm 8k+1$

d)  ${{n}^{2}}+n+1589$

Để ${{n}^{2}}+n+1589$ là số chính phương

Thì ${{n}^{2}}+n+1589={{A}^{2}}$

$\Leftrightarrow 4{{n}^{2}}+4n+6356=4{{A}^{2}}$

$\Leftrightarrow \left( 4{{n}^{2}}+4n+1 \right)+6355=4{{A}^{2}}$

$\Leftrightarrow 4{{A}^{2}}-{{\left( 2n+1 \right)}^{2}}=6355$

$\Leftrightarrow \left( 2A-2n-1 \right)\left( 2A+2n+1 \right)=6355$

$6355=1.6355=5.1271=31.205=41.155$

Mà do $2A-2n-1<2A+2n+1$

Vậy:

$\bullet\,\,\,\,\,\begin{cases}2A-2n-1=1\\2A+2n+1=6355\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}A=1589\\n=1588\end{cases}$

$\bullet\,\,\,\,\,\begin{cases}2A-2n-1=5\\2A+2n+1=1271\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}A=319\\n=316\end{cases}$

$\bullet\,\,\,\,\,\begin{cases}2A-2n-1=31\\2A+2n+1=205\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}A=59\\n=43\end{cases}$

$\bullet\,\,\,\,\,\begin{cases}2A-2n-1=41\\2A+2n+1=155\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}A=49\\n=28\end{cases}$

e)  ${{2}^{8}}+{{2}^{11}}+{{2}^{n}}$

Để ${{2}^{8}}+{{2}^{11}}+{{2}^{n}}$ là số chính phương

Thì ${{2}^{8}}+{{2}^{11}}+{{2}^{n}}={{A}^{2}}$

$\Leftrightarrow {{A}^{2}}-\left( {{2}^{8}}+{{2}^{11}} \right)={{2}^{n}}$

$\Leftrightarrow {{A}^{2}}-{{48}^{2}}={{2}^{n}}$

$\Leftrightarrow \left( A-48 \right)\left( A+48 \right)={{2}^{n}}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}A-48=2^x\\A+48=2^y\end{cases}$     $\left( x,y\in \mathbb{N},x<y \right)$

$\Leftrightarrow {{2}^{y}}-{{2}^{x}}=96$

$\Leftrightarrow {{2}^{y}}-{{2}^{x}}={{2}^{7}}-{{2}^{5}}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x=5\\y=7\end{cases}$

Từ: $\left( A-48 \right)\left( A+48 \right)={{2}^{n}}$

$\Leftrightarrow {{2}^{x}}{{.2}^{y}}={{2}^{n}}$

$\Leftrightarrow {{2}^{x+y}}={{2}^{n}}$

$\Leftrightarrow {{2}^{12}}={{2}^{n}}$

$\Leftrightarrow n=12$