Tìm số nguyên tố ab (a>b>0) biết ab-ba là số chính phương

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Ta có

$\overline{ab} - \overline{ba} = (10a + b) - (10b + a)$

$= 9a - 9b$

$= 9(a-b)$

Do $\overline{ab} - \overline{ba}$ là số chính phương nên $9(a-b)$ là số chính phương.

Mặt khác, $a$ và $b$ đều là số có một chữ số, nên $1 \leq a-b < 9$.

Tuy nhiên, do $\overline{ab}$ là một số nguyên tố nên $b$ phải là số lẻ, vậy $b = 1, 3, 7, 9$.

Mặt khác, do $9(a-b) = 3^2(a-b)$ là một số chính phương, nên $(a-b)$ cũng phải là một số chính phương. Do đó $a - b= 1, 4$.

Với $a-b = 1$ và b là một số lẻ, ta có số $\overline{ab}$ là 21, 43, 87. Trong 3 số này chỉ có 43 là số nguyên tố.

Với $a-b = 4$ và b là một số lẻ nên ta có $\overline{ab}$ có thể là 51, 73. Cả 2 số này đều là số nguyên tố.

Vậy số cần tìm là 43, và 73.