Tìm n∈Z để n^5+1 chia hết cho n^3+1

Đáp án:  $n\in\{0,1\}$ 

Giải thích các bước giải:

Để $n^5+1$ chia hết cho $n^3+1$

$\to n^5+1\quad\vdots\quad n^3+1$

$\to n(n^5+1)\quad\vdots\quad n^3+1$

$\to n^6+n\quad\vdots\quad n^3+1$

$\to \dfrac{n^6+n}{n^3+1}\in Z$

$\to \dfrac{n^6-1+n+1}{n^3+1}\in Z$

$\to \dfrac{(n^3)^2-1+n+1}{n^3+1}\in Z$

$\to \dfrac{(n^3-1)(n^3+1)+n+1}{n^3+1}\in Z$

$\to n^3-1+\dfrac{n+1}{n^3+1}\in Z$

$\to \dfrac{n+1}{n^3+1}\in Z$

$\to \dfrac{n+1}{(n+1)(n^2-n+1)}\in Z$

$\to \dfrac1{n^2-n+1}\in Z$

$\to 1\quad\vdots\quad n^2-n+1$

Mà $n\in Z\to n^2-n+1\in Z$

$\to n^2-n+1$ là ước của $1$

Do $n^2-n+1=(n-\dfrac12)^2+\dfrac34>0$

$\to n^2-n+1=1$

$\to n^2-n=0$

$\to n(n-1)=0$

$\to n\in\{0,1\}$