Tìm n∈N để `4n^2-4n-15` là số chính phương

Đáp án:

`n=3` thì `4n^2-4n-15` là số chính phương

Giải thích các bước giải:

Đặt `4n^2-4n-15=k^2(k\inZZ)`
`=>(2n)^2-2.2n+1-16=k^2`
`=>(2n-1)^2-16=k^2`
`=>(2n-1)^2-k^2=16`
`=>(2n-1-k)(2n-1+k)=16`
Ta có:
`2n-1+kge2n-1-k` và `16=4.4=8.2=(-2).(-8)=16.1=(-1).(-16)`
TH`1`:
`{(2n-1+k=4),(2n-1-k=4):}<=>{(2n+k=5),(2n-k=5):}<=>{(4n=10),(2n+k=5):}<=>{(n=5/2(KTM)),(K=0):}`
TH`2`:
`{(2n-1+k=8),(2n-1-k=2):}<=>{(2n+k=9),(2n-k=3):}<=>{(4n=12),(2n-k=3):}<=>{(n=3(TM)),(k=3):}`
TH`3`:
`{(2n-1+k=-2),(2n-1-k=-8):}<=>{(2n+k=-1),(2n-k=-7):}<=>{(4n=-8),(2n-k=-7):}<=>{(n=-2(KTM)),(k=3):}`
TH`4`:
`{(2n-1+k=16),(2n-1-k=1):}<=>{(2n+k=17),(2n-k=2):}<=>{(4n=19),(2n-k=2):}<=>{(n=19/4(KTM)),(k=15/2):}`
TH`5`:
`{(2n-1+k=-1),(2n-1-k=-16):}<=>{(2n+k=0),(2n-k=-15):}<=>{(4n=-15),(2n-k=-15):}<=>{(n=-15/4(KTM)),(k=15/2):}`
Vậy `n=3` thì `4n^2-4n-15` là số chính phương

Đặt `4n^2-4n-15=k^2(k\in NN)`

`->4n^2-4n +1 - 16=k^2`

`-> (2n-1)^2-16=k^2`

`-> (2n-1)-k^2=16`

`->(2n-1-k)(2n-1+k)=16`

Do `n,k\in NN`

`->2n+k> 2n-k`

`-> 2n+k-1>2n-k-1`

`-> (2n+k-1)(2n-k-1)=16 . 1=8.2`

TH1 : `2n+k-1=16, 2n-k-1=1`

`-> 4n-2=17`

`-> 4n=19`

`->n=19/4` (Loại)

TH2 : `2n+k-1=8, 2n-k-1=2`

`-> 4n -2=10`

`->4n=12`

`-> n=3` (Nhận)

Thử lại với `n=3` thì `4n^2-4n-15=9=3^2` là SCP

Vậy `n=3` để `4n^2-4n-15` là SCP