Tìm nguyên hàm của √x.lnxdx giúp tớ với

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Đặt $ t = \sqrt{x}$

$  \int\limits{\sqrt{x}lnx} \, dx $

$ =  \int\limits{2xlnx} \,.\dfrac{dx}{2\sqrt{x}} $

$ = 2\int\limits{t^{2}lnt^{2}} \, dt$

$ = \dfrac{4}{3}\int\limits{lnt} \,.3t^{2}dt$

$ = \dfrac{4}{3}\int\limits{lnt} \,d(t^{3})$

$ = \dfrac{4}{3}(t^{3}lnt - \int\limits{t^{3}} \, d(lnt))$

$ = \dfrac{4}{3}t^{3}lnt - \dfrac{4}{3}\int\limits{t^{3}} \,.\dfrac{dt}{t}$

$ = \dfrac{4}{3}t^{3}lnt - \dfrac{4}{3}\int\limits{t^{2}} \, dt $

$ = \dfrac{2}{3}t^{3}lnt^{2} - \dfrac{4}{9}t^{3} + C$

$ = \dfrac{2}{3}x\sqrt{x}lnx - \dfrac{4}{9}x\sqrt{x} + C$