Tìm m để phương trình 2nhân căn x+1 - x=m+1 có 2 nghiệm phân biệt

Đáp án:

$m > 0$ và $m \ne 1$

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}2\sqrt {x + 1}  - x = m + 1\left( {DK:x \ge  - 1} \right)\\ \Leftrightarrow x + 1 - 2\sqrt {x + 1}  + 1 =  - m + 1\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x + 1}  - 1} \right)^2} = 1 - m\,\,\left( * \right)\end{array}$

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow 1 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 1$.

Với $m = 1$ thì phương trình (*) là ${\left( {\sqrt {x + 1}  - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  - 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  = 1 \Leftrightarrow x = 0$ hay phương trình có nghiệm duy nhất (loại)

Với $m < 1$ thì (*)$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x + 1}  - 1 = \sqrt {1 - m} \\\sqrt {x + 1}  - 1 =  - \sqrt {1 - m} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x + 1}  = 1 + \sqrt {1 - m} \\\sqrt {x + 1}  = 1 - \sqrt {1 - m} \end{array} \right.$

$1 - \sqrt {1 - m}  > 0 \Leftrightarrow \sqrt {1 - m}  < 1 \Leftrightarrow 1 - m < 1 \Leftrightarrow m > 0$

Vậy với $m > 0$ và $m \ne 1$ thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.