Tìm m để 3 đường thẳng y=-5(x+1), y=mx +3, y= 3x +m phân biệt và đồng quy

Pt hoành độ giao của $y=-5(x+1)$ và $y=3x+m$

$-5x-5=3x+m$

$\to -8x=m+5$

$\to x=\dfrac{m+5}{-8}$

$\to y=\dfrac{5m-15}{8}$

Để 3 đường thẳng đồng quy thì $y=mx+3$ đi qua $(\dfrac{m+5}{8};\dfrac{5m-15}{8})$

$m.\dfrac{m+5}{-8}+3=\dfrac{5m-15}{8}$

$\to (-m^2-5m)+24=(5m-15)$

$\to -m^2-5m-5m+15+24=0$

$\to -m^2-10m+39-=0$

$\to m=3 \quad or\quad m=-13$ 

$y=mx+3$ cắt $y=3x+m$

$\to m\ne 3$

$\to m=-13$

Đáp án:

$m=-13$

Giải thích các bước giải:

$d_1:y=-5(x+1)$

$d_2:y=mx+3$

$d_3:y=3x+m$

Ta có để $d_2$ và $d_3$ cắt nhau thì: $m\ne3$

Để $d_1$ và $d_2$ cắt nhau thì: $-5\ne m$

Gọi $A$ là giao điểm của $d_1$ và $d_3$

Như vậy tọa độ của điểm $A$ thỏa mãn hệ phương trình:

$\begin{cases}y=-5x-5\\y=3x+m\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}3x+m=-5x-5\\y=3x+m\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x=\dfrac{-m-5}8\\y=3.\dfrac{-m-5}8+m=\dfrac{5m-15}8\end{cases}$

$\Rightarrow A\left({\dfrac{-m-5}8;\dfrac{5m-15}8}\right)$

Để $d_1,d_2,d_3$ đồng quy thì $A\in d_2$

nên tọa độ của điểm $A$ thỏa mãn phương trình đường thẳng $d_2$

$\Rightarrow\dfrac{5m-15}{8}=m.\dfrac{-m-5}8+3$

$\Leftrightarrow 5m-15=m(-m-5)+24$

$\Leftrightarrow m^2+10m-39=0$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{I}m=3\text{ (không thỏa mãn)}\\m=-13\text{ (thỏa mãn)}\end{array}\right.$

Vậy $m=-13$.