tìm hệ số của x^6 trong khai triển của ( 1+x^2(1+x))^7 thành đa thức

Đáp án:

\(C_7^3.C_3^0 + C_7^2.C_2^2 = 56\)

Giải thích các bước giải: \(\begin{array}{l} {\left[ {1 + {x^2}\left( {1 + x} \right)} \right]^7} = {\left( {{x^3} + {x^2} + 1} \right)^7}\\ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k{{\left( {{x^3} + {x^2}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k\sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i{x^{3i}}{x^{2\left( {k - i} \right)}}} } \\ = \sum\limits_{k = 0}^7 {\sum\limits_{i = 0}^k {C_7^kC_k^i{x^{2k + i}}} } \\ \Rightarrow De\,\,co\,\,he\,\,so\,\,cua\,\,{x^6} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2k + i = 6\\ 0 \le k \le 7\\ 0 \le i \le k\\ i,\,\,k \in Z \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} i = 0\\ k = 3 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} i = 2\\ k = 2 \end{array} \right. \end{array} \right.\\ \Rightarrow he\,\,so\,\,cua\,\,{x^6}\,\,trong\,\,khai\,\,trien\,\,tren\,\,la:\,\,\,C_7^3.C_3^0 + C_7^2.C_2^2 = 56. \end{array}\)